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第15讲 函数的图象与性质A级高考保分练1函数f(x)ln(1)的定义域为_解析：由题意可得解得20时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)_.解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，f(1)f(1)(21)1，因此f(0)f(1)1.答案：14已知f(x)是奇函数，g(x).若g(2)3，则g(2)_.解析：由题意可得g(2)3，解得f(2)1.又f(x)是奇函数，则f(2)1，所以g(2)1.答案：15定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且当x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)_.解析：f(log220)f(log2204)f，12，0log21，1log20，a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：当a1，则f(x)ax为增函数，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)在0，)上为减函数，不合题意当0a0的解集为_解析：f(x)(x2)(axb)ax2(b2a)x2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b2a, 故f(x)ax24a.又函数f(x)在(0，)上是减函数，所以a0，即(2x)24，即22x2，即0x4，故所求不等式的解集是(0,4)答案：(0,4)11已知函数f(x)，下列关于函数f(x)的研究：yf(x)的值域为R；yf(x)在(0，)上单调递减；yf(x)的图象关于y轴对称；yf(x)的图象与直线yax(a0)至少有一个交点其中，结论正确的序号是_解析：函数f(x)其图象如图所示，由图象知f(x)的值域为(，1)(0，)，故错误；在区间(0,1)和(1，)上单调递减，故错误；yf(x)的图象关于y轴对称正确；因为函数在每个象限都有图象，故yf(x)的图象与直线yax(a0)至少有一个交点正确答案：12(2019南京六校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x.若f(a)4f(a)，则实数a的取值范围是_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(a)4f(a)可转化为f(a)2，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知a2.答案：(，2)B级难点突破练1(2019扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，且当x(0,2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm.如果x12,2，x22,2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_解析：f(x)是定义在2,2上的奇函数，f(0)0，当x(0,2时，f(x)2x1的值域为(0,3，当x2，2时，f(x)的值域为3,3若x12,2，x22,2，使得g(x2)f(x1)，则g(x)max3且g(x)min3，g(x)x22xm(x1)2m1，当x2,2时，g(x)maxg(2)8m，g(x)ming(1)m1，故8m3且m13，解得5m2.答案：5，22已知函数yf(x)和yg(x)的图象关于y轴对称，当函数yf(x)和yg(x)在区间a，b上同时递增或者同时递减时，把区间a，b叫做函数yf(x)的“不动区间”，若区间1,2为函数f(x)|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是_解析：因为函数yf(x)与yg(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)f(x)|2xt|.因为区间1,2为函数f(x)|2xt|的“不动区间”，所以函数f(x)|2xt|和函数g(x)|2xt|在1,2上单调性相同，因为y2xt和函数y2xt的单调性相反，所以(2xt)(2xt)0在1,2上恒成立，即2xt2x在1,2上恒成立，解得t2.答案：3已知二次函数f(x)x2bxc的图象过点(1,13)，且函数对称轴方程为x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)|x|，求g(x)在区间t,2上的最小值H(t)；(3)探究：函数yf(x)的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)因为f(x)x2bxc的对称轴方程为x，所以b1.又f(x)x2bxc的图象过点(1,13)，所以1bc13，所以c11.所以f(x)的解析式为f(x)x2x11.(2)由(1)得，g(x)(x2) |x|结合图象可知：当1t2，g(x)mint22t；当1t1，g(x)min1；当t1，g(x)mint22t.综上，H(t)(3)如果函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，设为P(m，n2)，其中m为正整数，n为自然数，则m2m11n2，从而4n2(2m1)243，即2n(2m1)2n(2m1)43.注意到43是质数，且2n(2m1)2n(2m1)，2n(2m1)0，所以解得m10，n11，因此，函数yf(x)的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10,121)4已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设F(x)f2(x)2f(x)(a为实数)，求F(x)在a0时的最大值g(a)；(3)对(2)中g(a)，若m22pmg(a)对a0时所有的实数a及p1,1恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由1x0且1x0，得1x1，所以函数f(x)的定义域为1,1又f2(x)222,4，由f(x)0得值域为，2(2)令tf(x)，则t21，所以F(x)m(t)atat2ta，t，2由题意知g(a)即为函数m(t)at2ta，t，2的最大值注意到直线t是抛物线m(t)at2ta的对称轴因为a0时，函数ym(t)，t，2的图象是开口向下的抛物线的一段，若t(0，即a，则g(a)m().若t(，2，即a，则g(a)ma.若t(2，)，即a0，则g(a)m(2)a2.综上，有g(a)(3)易得g(a)min，由m22pmg(a)对a0恒成立，即要使m22pmg(a)min恒成立m22pm0，令h(t)2mpm2，对所有的p1,1，h(p)0成立，只需解得m2或m0或m2，故实数m的取值范围是(，202，)- 6 -
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