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第1讲 曲线方程与抛物线1.如图所示，已知圆A：(x2)2y21与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10.(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)(3)圆P与圆A外切，且与直线x1相切(P为动圆圆心)解：(1)根据题意知，PAPBAB10，即PAPB64AB，故P点轨迹是椭圆，且2a6,2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则PAr1，PBr，因此PAPB1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.2.已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为ykx，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由x22pkxp20x1x2p2.易知直线OA的方程为yxx，直线BC的方程为xx2，由得y，即点C的轨迹M的方程为y.(2)证明：由题意知直线n的斜率存在设直线n的方程为yk1xm.由x22pk1x2pm04p2k8pm.因为直线n与抛物线相切，所以0pk2m0，可得P(pk1，m)又由Q，所以(p2m)pm0FPFQ，所以以线段PQ为直径的圆过点F.3(2019南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px(p0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB4.(1)求p的值；(2)若l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上解：(1)因为l过M(2,0)，且当l垂直于x轴时，AB4，所以抛物线经过点(2,2)，代入抛物线方程，得42p2，解得p1.(2)证明：设直线l的方程为yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x，得ky22y4k0，则y1y2，y1y24.因为C为AB中点，所以yC，则直线l1的方程为y.因为直线l2过点M且与l垂直，则l2的方程为y(x2)，联立解得即P，所以点P在定直线x1上4在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)若AOB的面积是BOF面积的3倍，求直线l的方程解：因为抛物线的方程为y24x，所以F(1,0)(1)设M(x，y)，A(x1，y1)因为M为线段AF的中点，所以x，y，则x12x1，y12y，代入抛物线方程得y22x1，所以点M的轨迹方程为y22x1.(2)由(1)知A(x1，y1)，设B(x2，y2)，不妨令y10，y20，设AOF和BOF的面积分别为S1，S2，因为AOB的面积是BOF面积的3倍，所以S1S23S2，所以S12S2.因为S1OFy1，S2OF|y2|OFy2，所以y12y2.易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xty1(t0)与y24x联立，消去x得y24ty40，解得y1,22t2，则y1y24t，y1y24由可得t，代入，得直线l的方程为y2(x1)；同理，当y10，y20时，得直线l的方程为y2(x1)综上，直线l的方程为y2(x1)5(2019如皋期中)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为x.若抛物线C与直线l：y2xm相交于A，B两点，抛物线的焦点在直线l上，线段AB的中点到抛物线准线的距离为5.(1)求p，m的值；(2)设点E为抛物线C上一点，若三角形AEB的面积为4，试确定点E的个数，并说明理由解：(1)因为抛物线的焦点在直线l上，所以，即mp，联立消去y，得4x26pxp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，因为线段AB的中点到抛物线准线的距离为5，所以5，解得p4，则m4.(2)由(1)知，抛物线方程为y28x，直线l的方程为y2x4，联立整理得x26x40，所以AB|x1x2|10.设点E到直线AB的距离为d，则三角形AEB的面积为10d4，解得d .设平行于AB且与抛物线相切的直线为y2xn，联立消去y，得4x2(4n8)xn20，(4n8)216n264n640，n1，此时切线方程为y2x1，其与直线AB的距离为，而与直线AB的距离为的点在两条平行直线上，这两条直线与抛物线的交点共有4个，所以符合题意的点E共有4个- 5 -
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