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规范解答集训(五)解析几何(建议用时:40分钟)1(2019兰州一诊)已知曲线C上的任意一点到直线l:x的距离与到点F的距离相等(1)求曲线C的方程;(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:为定值解(1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,p1.抛物线的方程为y22x.(2)根据已知,设直线AB的方程为yk(x1)(k0),由可得ky22y2k0.设A,B,则y1y2,y1y22.k1,k2.4.4.2已知椭圆C:1(ab0)的右焦点F(,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段MN为直径的圆上,证明直线l过定点,并求出该定点的坐标解(1)由题意得,c,2,a2b2c2,a2,b1,椭圆C的标准方程为y21.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm(m1),M(x1,y1),N(x2,y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0,x1x2,x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上,0.(x1,kx1m1)(x2,kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20,(k21)k(m1)(m1)20,整理,得5m22m30,解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时,不符合题意故直线l过定点,且该定点的坐标为.3(2019洛阳一模)已知椭圆1(ab0)右顶点与右焦点的距离为2,短轴长为2,O为坐标原点(1)求椭圆的方程;(2)过点P(0,4)的直线l与椭圆分别交于A,B两点,求OAB的面积的最大值解(1)由题意知ac2,2b2,b.联立解得:c2,a.椭圆的方程为1.(2)由题意知直线l的斜率k存在,设直线方程为ykx4,联立消去y得(13k2 )x224kx420.设点A(x1,y1),B(x2,y2),0,即3k270,x1x2,x1x2.O到AB的距离d,|AB|x1x2 |,所以SOAB|AB|d2|x1x2|224.令t3k27,t0,3k21t8.SOAB444.当且仅当t8,即k时,OAB的面积的最大值为.4已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,M(2,y0)是C上一点,且|MF|2.(1)求C的方程;(2)过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,分别过点A,B两点作抛物线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,点P关于直线AB的对称点Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由解(1)根据题意知,42py0,因为|MF|2,所以y02,联立解得y01,p2.所以抛物线C的方程为x24y.(2)四边形PAQB存在外接圆设直线AB方程为ykx1,代入x24y中,得x24kx40,设点A(x1,y1),B(x2,y2)则16k2160,且x1x24k,x1x24,所以|AB|x1x2|4(k21),因为C:x24y,即y,所以y.因此,切线l1的斜率为k1,切线l2的斜率为k2,由于k1k21,所以PAPB,即PAB是直角三角形,所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是圆的直径,所以点Q一定在PAB的外接圆上,即四边形PAQB存在外接圆又因为|AB|4(k21),所以当k0时,线段AB最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为4.- 4 -
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