1矢量代数与矢量微积分基础

图1-1相同起始位置A和B不同路径的位移矢虽第1章矢量代数与矢量微积分1.1矢量代数本章并不是要介绍我们所需要的所有数学方法，而是根据学生在初学阶段的需要主要介绍欠最代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思想奠定基础。另一方而，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多,我们这里只介绍Matlab算法在物理学中的应用。由该程序非常普及易学，我们只是抛砖引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。1.1.1矢量与矢量代数运算欠量是既有人小也有方向的龟。物理学中许多物理量为矢量，比如位移欠量，动量，角动量，力，电场，磁场都是欠量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质量、时间，.等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而欠量的代数关系是不同标屋的。进一步地，在微分等运算中欠鼠的表现形式也是与标覺很不一样的。因此，有必要关于欠量运算的各种形式作介绍。图1-1表示的位移欠量AB的例子，它只表示物体从A点运动到B点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从A点到达E点的。所以位移欠量并不包含路径的任何信息。如果物体从某点A到点E,然后又从点E到点C,那么物体运动从点A到点C的净位移是矢量AB和BC的欠量和，如图1-2。图1-2（a）矢量AC是矢呈AB与BC的矢呈和（b）等价的矢量图图1-2中的欠最和关系可以表示为欠最方程s=d+b.矢量加减法运算规则（1）交换律欠鼠关系见图1-3,Iflj数学表达则为(1丄2)a+b=b+d图1-3两矢虽求和可交换顺序（2）结合律其欠量关系见图1-4a+b+c+(b+c图14三矢量和的结合律（3）矢量减法加一欠彊-5等价J：减去欠量万。所以，定义欠量减法为（见图1-6）图1-7（a）矢虽N的分虽心和你:(1丄4)d=d-b=a+(-b)矢量分量表示如果考虑一个在平面的二维欠鼠乳如图17所示。分帛卩和么分别为欠帛立在轴和y轴上的投影。根据三角关系，容易得到cix=cicqsO和av=dsni&欠量的人小，也称为欠量的模，记为a=d,根据三角关系有以及tan0=（b）分虽的合成。三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示图18三维矢呈图。单位矢虽；、丿和按右手定则定义了笛卡尔坐标系。如图1-8所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中；、)和分别为在x、y和z轴上长度为1个单位且和互垂直的单位矢殖。任意欠帛卫可以用三个单位矢萤来表示：AAAa=axi+avj+a.k(1.1.7)量a,.；、dj和冬/是欠量帀的“矢量分量”，而乞，竹和冬是矢量玄的“标量分最”。欠帛方的模是。=0|=+0；+/(1.1.8)任何欠駅都可以表示成为其模与其欠堂方向的单位矢鼠Z积來表示。比如，若我们记欠帛0方向的单位矢龟为na,则我们可以把N表示为矜丽“彳札，或者na=1-o(1.1.9)矢量乘法规则及其几何意义欠最乘法包括标起积和欠最积两种。傀(1丄18)f=l/=!从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量N用基欠&來表示。)ne,(1.1.19)此处是矢帛上方向的单位欠最。两矢量的欠量积仍然是一矢最，中间用符号X联系，所以矢量积也称为叉积(crossproduct)o欠量乙的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于方和5所确定的平而。由图图1J0矢虽积的右手螺旋规则。C垂直T(ixb(a)和bx(i(b)所确定的平行四边形的平而(C)。1-10(c)易知，叉积的模等于由N和万所确定的平形四边形的面积尽管按照(1.1.19)式其而积人小是相同的，但是Nx丘并不等于bxci,它们方向相反。所以叉积不满足交换律。如果记芒=5xa,那么c=-c，即(ixb=-bxa(1.1.20)为了在三维笛卡尔(Canesian)坐标系统卜表示欠量积，我们先看单位欠量的矢量积。根据定义式(1.1.19),相同的单位欠最的叉积为零，因为同一单位欠最的夹角等于零。比如，ixi=jxj=kxk=0o(1同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位欠量间的夹角是90度，故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。比如，ixj=k,jxk=i,kxi=J；而jxf=-,xj=-i,ixk=-j,参考图l-llo把这些关系代入卜面的矢最积图1-11单位矢量_/AAA/AAAaxb=(aj+aj+a:kxlbxi+bj+b:k逐项相乘，立即可以得到_AAAAAAC=axb=cxi+cj+c:k=(aybz一jbji+(azbx一axbz)j+(axby一aybx)k比较一下式中X和axb的分鼠的卜指标，可以发现右边的第一项按照形成循环的关系，而第二项交换卜指标而有一负去所有的卜指标没有重复相同的。而行列式只是依据行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。I、而我们引进一个符号来表示叉积的分最Z间的关系，这种形式以后对于欠彊的运算是很有帮助的。我们记axb的分最为q=x5）广工工d_A（1丄22）7=1A=1其中定义1,下指标按（1,2,3）顺序排列,或其偶数次对换,匂=dx炭丿标屋函数的梯度定义为VOo在笛卡尔坐标系卜梯度为(129)6：i+dx我们卜而证明梯度的一个很重要的性质：若（兀”Z）=C（c是常数）是一个曲面的方程,则是这个曲面的法向気换旬话说，是垂直于曲面（x,”Z）=c的向氐设f=xi+yj+zk是曲面上任一点P（x,y,z）的位置欠量。那么dF=dxi+dyj+dzk是在曲面上过P点的切平面上。但是，由于c是常数，必有血=更厶+竺心+竺妇0dx&z或者j+（亦+崩+d*）=VOdr=0.这个式子表示两个欠量的点积为零，即它们相互垂直丄d戸，因此V也垂直于曲而。一般情况卜，位移d尸可以是任意的，即不一定在U,y,z）=c的曲面上。这时从rr+dr的变化是(1.2.10)666f/O=(尸+d尸)一(戸)=dx+dy+dz=VOt/r,oxdydz即的变化是d|d”cosC其中Q是V与拧Z间的夹角。显然当8=0时的变化最人。换句话说，V指向的增加最大的方向（见图l-15）oV的人小是在该方向上的变化率。意方向的数那曲图1J5梯度沿标厳曲数变化率最大的方向。(2)散度(divergence)矢量函数戶（兀”z）的散度定义为V戶，读作Deidotfo在笛卡尔坐标系卜散度V戶度量欠鼠函数戶（兀”z）如何从F处分散开來的O的通厳推导散度坐标无关的定义。欠量场在整个空间有一个分布，不同位置的人小和方向可能不同。设想在空间作一个任意的曲面，那么矢最场必然会穿过这个曲面。如果考虑场戶经过某点戸射向其它方向，为方便起见，我们作一个如图1-16中心在点戸处、边长充分小的小立方体，其体积为矢量场戸（图中没有画出）穿过以戸点为中心距离A；yz方向分别为/2的六个平而，每个平而的面积是平面所处的位置对应于坐标re/2,其中（/=1,2,3）分别对应于笛卡尔坐标的单位矢量（m欠最场尸通过六面体的六个面的通量（flux）可以表示为戶在各个面上的值乘以相应的而积，即0戸.加=工斥（尸+免./2）_斥（尸_兔/2）于=工丿云=（0門3（1.2.12）DA匸1口昵式中D4为六个面组成的闭合曲而。第二个等式由泰勒级数展开即可得，比较（1212）式左右两边不难理解，其实散度就是穿过无限小闭合面单位体积的通量、这个表述叫以看作是坐标系统无关的散度的定义。让4为小体积V的边界，则有(1.2.13)（3）旋度（curl）欠最函数的旋度记为VxF（Del叉乘F”）。显然按照欠鼠的叉积的定义，在笛卡尔坐标系卜的旋度用行列式的形式表示是VxF=d/dxd/dyd/dz耳F、F：(dF:眄J7l先dx)勿）(1.2.14)或者等价地用Levi-Civita张最表示，旋度VxF的第i个分彊是(1.2.15)如前所述，这里j和斤从1到3求和，后一等式采用了简单记号od/dx旋度是度最矢鼠的旋性（vorticity）的，即欠量函数如何绕点戸旋转。一如江河里的水,如果用。表示水流的速度，由于水流各点的速度不同，可以称为速度场。当水流比如从东到西正常流动时，水流动的方向“划出”速度场的方向。此时，速度场不具有旋性。但是如果当船只航过，船尾的螺旋桨搅起了水的阵阵漩涡，这时船尾水的速度场就具有旋性，或者说其旋度不为零。为讨论旋量的特性，我们以点戸为中心取边长为处的无限小矩形廻路dS,dS在笛卡尔坐标系卜沿着方向和（即对应1ij.k的相应方向）。沿着正方形周长DL（i,j）逆时针旋转的线积分，如图1-17所示，表示为戸的环最如卜-_推导旋度的坐标无关定义ad)FdS=Fi(r-gj/z)+計八r+eej/zj-rr+珂/2)-F.(r-/2)DL(iJ)OFjOF：dxidXj2=(yxF)k2(1.2.16)此处Sk)是(1,2,3)的循环置换，积分限皿匕刀表示(/)平面积分廻路。第二个表示中的四项來自于正方形四个边的矢最积分，符号取决r积分是顺轴方向还是逆轴方向，出发点从底部逆时针进行。也是看作为无限小，并作泰勒展开取到导数的一次项。比如第二表示式中的第一项FQ_心2)展开为F(r)+(-f)(5F/5xy),其余各项类推。比较等式两边的表示，(1.2.16)意思是旋度VxF等于环绕一个无限小的廻路戶的单位而积的环屋(坏最即为jF-dS)o为了确定VxF在给定方向ii的分量，设C为包围面积为A的平面的闭合廻线，此积分廻线右手螺旋确定的该面积A的法线方向是d,那么n(VxF)=Inn)F-dS.(1.2.17)TOAc旋度的这个定义与坐标选取无关。(4)相关等式微分算子的另一形式是Laplace算子，V2=VV,读作“DN的平方”。它作用在标最函数/(戸)上是定义为(1.2.18)(1.2.19)v7=v-(vr)即Laplace算子是函数的梯度的散度。在笛卡尔坐标系匚直接运算立即可得宀d2fd2fd2fdx2dy2dv假定/和g是位置F的标鼠函数，而戶和G是戸的矢量函数，我们以表格形式列出相关Del的运算的恒等式：表11Del等式乘积的导数:V(亦)=/Vg+gW(b)V-(/G)=/V-G+V/-Gc)Vx(/6)=/VxG+V/xGd)V-(FxG)=(VxF)-G-F-(VxG)e)Vx(FxG)=(GV)F-(FV)G+F(VG)-G(VF)导数的乘积:(f) Vx(Vf)=O标量函数的梯度是无旋的(g) V-(VxF)=O矢量函数的旋度是不发散的(h) Vx(VxF)=V(VF)-V2F【例1-3】证明表格1-1中(d)、(e)式。【解】(d)式证明如F：V-(FxG)=d.sijk(FjGj=ijk(QFjGk+ijk巧(d.Gk)=G屜()=G.(VxF)-F.(VxG)o注意在LeviCivita符号表示中，其实i,j,k哪个符号顺序并不是固定不变的，重要的是满足点积和叉积的表示规则。比如知(Q)显然是等T(VxF)r即这个旋最的k分氐旋最的k分最与Gk相乘表示两矢量分最乘积Z和，故为点积。所以自然有最后的等式成立。(e)式的证明用LeviCivita符号，先取表达式的第i分量Vx(FxG).=务心(印”G”J=%50j(FQJ=(加-)dj(FG“)=6(旳)-(巧G)=(G岛疋+巧(引-G(a/.)-(FQ)q=(GV)f；.+f；(VG)-Gz(VF)-(FV)G/所以我们有Vx(FxG)=(GV)F-(FV)G+F(VG)-G(VF)o1.3积分定理1)平面格林定理(dQdP#(Pdx+Qdy)=CW设P、Q盟翌在以简单闭合曲线c为边界的单连通区域M是单值和连续的，则dydx办dy证明：设刈丁闭合曲线C,用任意平行于坐标轴的直线切割C至多得两个交点，如图18所示。设曲线AEB和AFB的方程分别是y=Yl(x)和y=K(x),M是由C围成的区域。我们有3甞dy*x=P(x,y).Y=a(Qy=-jP(x，K)dx_JP(x,Y2)dx=-)PdxcX图1-18平面格林定理。0Pdx=-jj$dxdyc6(a)类似地，设曲线EAF和EBF的方程分别为x=X刃和x=X2(y),则=0%，y)-2(1，刃dy=J；e(X,y)dy+JS(X,9y)dy=jQdy(b)jQdy=-dxdycwUA将(a),(b)二式相加得#(Pdx+Qdy)=JJC(dQdPI办dy定理证毕。(2) 积分与路径无关的条件定理1设P(x,y)和Q(x,y)在单连通区域M的每一点处连续且有连续的导数，则沿任意闭合路径C,在域M.jiPdx+Qdy)=0的必要和充分条件是詈=譽o定理不难由格林定理证明，此处略。定理2使僦心+巒+代衣)与积分路径无关的充要条件是在域M内有C繭陋笨dE迟迟一=一，=,=o(13.2)dydxdxdzdz勿不难看出，条件（1.3.2）等价T-VxF=Oo线积分也可以写成JF-dr的形式。戸可以C写成全微分的形式，则存在一个函数使得F-dr=d。这时，若曲线C的端点是（人,开,）和（兀,儿,冬），则线积分的值为f=广z阿=叫，”，乙）一（兀,zjJS，：J-（3）斯托克斯（Stokes）定理矢最函数戸绕闭合曲线C的坏流等丁通过以C为边界的而A的矢帚的旋最的通最，即：di=jj（VxF）r/A（1.3.3）CA（it的方向沿着曲线C绕行的切线方向；而积分面积元dA=ndA是加的单位法线矢最，由绕c的右手螺旋规则來确定。（此处证明略，因为我们在电磁学中会仃类似的证明。）（4）高斯（Gauss）定理欠盲通过闭合曲面A的通最等丁该矢最函数的散度在A所包围的体积V内的积分，即：（）F=j（VF）cPxo（1.3.4）AV面元dA=ndA,通常用欠量表示为n=coszi+cos/7j+cosyk,a.pyy分别是斤与x,yz三个轴的夹角，而F=Fli+F2j+F5k.高斯定理也称为散度定理。y图M9高斯定理证明定理证明：假定闭合曲面A是这样的一个曲面，用任何平行丁坐标轴的直线去切割A最多得两个点。假设平行丁巧平面切割的卜部曲而儿的方程z=/；（x,刃，以及上部曲而去的方程是Z=人（X,刃o曲面在xy平面的投影为呪o_dFOFOF对于+,先考世z分量积分有dxdydzdxdy9r9r=JF：(x,y,dxdy=JF:(x,yj2)-F:(x,yjjdxdy。対于上部曲而儿，仇在xy平面的投影是dxdy=cosy2dA2=kh2dA29的单位法向量札与z方向的单位欠杲/构成锐角乙。而对于卜部曲而人，“人在巧平面的投影是dxdy=cos/=k-ii/,妬的单位法向量小与z方向的单位矢量构成钝角签。因此，我们有JLF：(x，yJJdxdy=ffJcn2dA2F：(兀儿/Jdxdy=-FJcn/AJLF：(兀丁JJ-耳(兀A/Jdxdy=Fzkn2dA2+JFzkn/A=止=”FzkndA所以jj|*dxdydz=*：bdA。(a)类似地，把A向K和xz平面的投影分别可得H眷如嵌=fFxi-ndA,(b)把(a)、(b)、(c)三式相加dxdydz二井(AFj+Fj+F*)adA或者4戸6/4=J(VF)6/3X4V定理证毕。1.4正交曲线坐标系1.4.1曲线坐标系的定义描述物体运动除了笛卡尔坐标系统外，还可以用其它正交坐标系来描述。不像笛卡尔坐标位置和单位矢鼠的方向都是固定不变的，而一般曲线坐标随着质点的运动而变化。若笛卡尔坐标系描述质点位置的坐标是(x,y,z)，而在其它正交坐标系中用(W，3)描述。记它们Z间的变换方程为x=/(m1,m2,m3),y=g(w，2，3)，乙=/7(坷川2川3)(1-4.1)这里假定f、g,h是连续的，且有连续的导数和单值的逆。这样某点P的位置矢最用相应的坐标描述是AAAAAAr=xi+yj+zk=/(wpm2,m3)人直)(代也“耳+h2du2e2+A3Jw3e3)=（人/“妬+人力/心+少人仔他。（b）比较上面（a）,（b）两式，即得(148)込丄竺八衍八人duL1h2du22%Oh3（2）散度戸根据（1.2.13）式可以计算坐标无关的散度的表达式。根据此式戸的散度乘以无限小体积dVTF穿过六个面的通最。参考图120分析，注意每个面的面积等丁湘应位置曲线边长X曲线边长（沟则）（九d）o比如F穿过u2+du2位置的通量为代代人L中化didu.o不难得到全部通最关系为FdV=（/如中则-尸皿3“九仇+（耳/也1“*-也人L）啦血+（厶吐|Wj+Jmj-打仏1“,）血九佥（嘶）+佥（咏）+佥（嘶）如吨根据体积的关系式（146）可知dV=讥诃如u,所以我们有V-F=hjijq两(FJH+詈(FJ讥)+扎)。3(149)(3)旋度VxF由于旋度是欠鼠，根据坐标无关的旋度的定义式（1.2.17）,先考虑旋度VxF的第三分量，即（VxF）-e3o此处旋最积分包围无限小而积（何则）（仏dJ。根据定义式，该分最的环最积分是（X方人0曲）他见）=（FJl儿+则-（哄）1“J她-（也）lH：+d“，-（也）LJd坷O6=乔（&仏MM心注意式中符号取决于旋最的矢最方向与单位欠竜方向的异同。消除等式两边相同因子，得一1或者用行列式的形式表示为（4）拉普拉斯算子（x戸）产沽-0（耳几）,VxF=(1.4.11)玄/h2h5e2/人代e3fhJsFh(1.4.12)拉普拉斯算子沪，根据梯度和散度的表示，结合起V2O(1.4.15)因此，drdrAd(pA八八z=r+r-(p=/t+r(p。(1.4.16)atatdt式中定义了字母上的小点表示对时间求导：，三g和0三华。相应的表示还可用于二阶导dtdt数。对X1416)再対时间求导得CVY(八=(r-r-)r+0+广。(1.4.17)(2) 柱坐标柱坐标中坷=(P，lg=Z。为了避免与极坐标与位置欠量混淆，我们把径向分量用p表示。柱坐标与笛卡尔坐标的关系是X=。柱坐标中位置欠量表示是f=加+M(1.4.18)图1-23(a)柱坐标系，(b)柱坐标体积元利用(1.4.6)、(1.4.8)、(1.4.9)、(1.4.11)、(1.4.13)式不难证明表1-2中柱坐标中算子的关系。表12柱坐标中的矢量运算表示标度因子打=1，=Ahz=l位移dr=pdp+pd(p+kdz(a)体积元dV=pdpdcpdz(b)梯度厂上八6a1,6=p+p+kdppd(pdz(c)散度wi(兀)+】H(d)(el)旋度_OF。dF(e2)拉普拉斯算子(VxF)c=丄坐pMop)1OF.叽x=广sin&cos,y=rsmsinz=rcosO(1.4.20)x=广sin&cos,y=rsmsinz=rcosO(1.4.20)(3) 球坐标球坐标是最常用的坐标系之_。坐标选为坷=r,u2=e、u、=0,如图1-25所示。(a)小图1-24(a)球坐标系，(b)球坐标体枳元球坐标系中的位置矢量是r=/T(1.4.19)由图1.24容易给出球坐标与笛卡尔坐标2间的关系是x=广sin&cos,y=rsmsinz=rcosO(1.4.20)利用（1.4.6）、（1.4.8）、（1.4.9）、（1.4.11）、（1.4.13）式不难证明表1-3中柱坐标中算子的关系。利用（1.4.6）、（1.4.8）、（1.4.9）、（1.4.11）、（1.4.13）式不难证明表1-3中柱坐标中算子的关系。标度因子位移体积元梯度散度旋度拉普拉斯算子表13球坐标中的矢量运算表示；=th&=4%=广smeAAA=rdr+0rdO+广sillOd(f)=r2drsin0dOd(fiA5C)A15)A1衍r+0+(bdrrdOrsind(j)(r2/;.)+(sin&%+1勺rdr丿rsin0dOy7rsin0d(j)xF),.=1xF),=-(b)(d)自尤）-需(el)询亠斗尸嗚+亠斗sm。竺+丄空rdrdr)rsnOdOdO)rsin6d(jr第1章习题矢量代数1.1用行列式方法和LeviCivita反对称张最形式表示的叉积两种方法分别证明(1.1.27)式成立。1.2用LeviCivita反对称张量和等式(1丄25)证明(1.1.28)和(1.1.29)。(注意克罗内克Delta符号可以起到消除自身卜指标并使Z变成另一下指标的作用，如Qiij=比。)1.3求顶点为(2,-3,1),(1,-2,2),(-1,2,3)的三角形的面积。1.4证明恒等式(AxB)(Cxb)=(AC)(Bb)-(A-D)(BC)1.5证明(AxB)(Cx5)+(5xC)(AxD)+(CxA)(5xD)=01.6若A=Ali+A2j+Aik,B=B.i+BJ+B.k,C=C/+CJ+CJc,证明_AA2AABxC)=B,B2B.CiC2C3矢量微积分d一一dA一一dB一一1.7证明=+其中A和B是的可微函数。anduan1.8证明卜而的恒等式：(a) V(戸)二(V-F)+(V)戶(b) Vx(戸)二(VxF)+(VO)xF(c) V(FxG)=G(VxF)-F-(VxG)(d) Vx(VxF)=V(V-F)-V2F(e) V-(VxF)=O1.9 证明Vx(r2r)=0,其中r=xi+yj+Jc而r=|r|o1.10 (a)如果=p此处是常矢量，r=|F|,计算V=1）（勺2,6）-6（孔,）,可）。1-15若x=pcos0y=psin0,证明*0（砂_灿）=*刊0,并解释Z。曲线坐标1.16验证表1-2中各式。1.17验证表13中各式。1.18证明在(a)柱坐标，(b)球坐标中,质点沿空间曲线的加速度分别为不柱=(Q_学P+(2W+“)J+ZN球=(r-rO1-v(trsin20ir+(r0+2r0-rrsincosO)a&+（2/0sm0+2“0cos0+r（j）sin&）J。1.19球坐标系和笛卡尔坐标系的单位欠量可以相互表示，或称为相互展开。即对于如图1-24(a)中的笛卡尔坐标(兀)冒)和球坐标(几00)的单位欠量满足卜列关系(a)i=ersin0cos0+cos0cos0-sm0Aj=ersin0cos+edcos6sincos0k=ercos&-打sin0(b)er二isinOcos0+jsin&sin0+kcos&AAA=icos0cos+jcos0sin-ksin6AAAe=-ism0+jcos01.20用两种形式：笛卡尔坐标和球坐标厂计算卜而欠最函数的散度和旋度:A(a)r;(/?)r/r;(c)kxr,此处r=r。121拧尸(兀y)=0和Gr(x,wv)=09求(a),(b),(c),(d)用雅oxcyoxoy可比行列式表示，假定F和G对和v的导数不等丁零。1.22若F(P,V,T)=0,证明其中卜指标表示相应的变鼠是保持不变的。这些结论在热力学中冇用，其中(pyj)分别表示物体系统的压强、体积和温度。