Ch3中值定理和导数的应用

.wd.Ch3、中值定理与导数的应用1、中值定理一、罗尔定理假设满足在上连续；在内可导；，则在内至少存在一点。证：因，故在上有最大值、最小值，假设，对任意，均有，结论成立。假设，因，故不能同时等于，不妨设，即内部一点处取最大值。当同理可证，又在内可导，故，即。例1、验证罗尔定理对上的正确性。证：条件验证，即满足罗尔定理条件。 结论验证，显然有，故得证。 既要验证条件，又要验证结论例2、设的实数，证明方程在内至少有一个实根。证：设则在上连续，在内连续，且，由罗尔定理，至少有一个使即在内至少有一个实根。二、拉格朗日中值定理 假设满足在上连续；在内可导，则至少存在一点，使 。证：令 则在上连续，在内可导，且 由罗尔定理，至少有一个使 即。 因，故可记为。 本定理的一般形式为，。例3、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使。证：令，则在上连续，在内可导，由Lagrange定理，有使，即例4、设，证明证：令，则在上连续，在内可导，故有使又，故 即定理：在区间上，的充要条件是证：充分性显然，下证必要性。由知，满足Lagrange定理条件，对任意，有，得，从而。例5、证明：证：令则 又 故 同理可证三、柯西中值定理假设满足在上连续；在内可导；，则至少存在一，。证：令， 则在上连续，在内可导，且， 由罗尔定理，至少有一个使， 即。例6、设在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使。证：令，则、在上连续，在内可导，且由柯西定理，有使，即2、洛必达法则1、型定理1：假设；，则证：下设极限过程为，时同理可证。因，故、的连续点或可去连续点，从而可得。设为邻域内一点，且，则、在上连续，在内可导，且，则柯西定理又时，且故。注：在实际运用时，只要极限为型，即可试用法则。 在求极限时，最好将洛必达法则与等阶无穷小代换法则结合使用。例1、解：原式例2、解：原式例3、解：原式2、型定理2：假设；，则例4、解：原式例5、证明存在，但不可用洛必达法则计算。证：因为不存在也不为，故不可用洛必达法则计算。但此极限存在，事实上原式3、其它未定型极限中共有七种未定型例6、例7、例8、 例9、例10、例11、3、泰勒公式1、Taylor中值定理定理：假设在的某邻域内有阶导数，则在该邻域内称为余项，介于之间。 拉格朗日公式显然余项。2、麦克劳林公式假设，则此式称为阶麦克劳林公式。例1、求的麦克劳林公式 解：，故， 故同理，故，故 例2、用Taylor公式求极限 解：原式原式 4、函数单调性的判定1、定理1：假设在区间内，则在区间上单调增加减少。证：任取，则由拉格朗日定理，假设，则，在上单调增加；假设，则，在上单调减少。例1、判定函数单调性 解：当时，；当时，故内单增，在内单减。，当时，；当时，故内单减，在内单增。2、用单调性证明不等式重要例2、证明不等式 证：令，则，即单增 又，故，即再令，即单增又，故，即从而 令，则 ，即单增 又，故，即3、定理2：单调函数在其单调区间内最多只能有一个零点。例3、证明只有一个实根。证：令，则在上连续，且，故内至少有一个零点，又，即单减，由定理2，内最多只能有一个零点，从而有且仅有一个实根。5、函数的极值及求法1、极值的定义定义：假设存在的一个邻域，对此邻域内除外的任何，均有 ，则称为的一个极大小点，称为的一个极大小值。注：极值是局部性概念，仅在附近考虑；而最值是整体性概念，要在整个区间考虑。2、函数取得极值的必要条件定理1：假设在处可导，且在处取得极值，则。证：不妨设为极大点，即在的某邻域内有当时， 保号性 同理，又在处可导，即，故。注：导数为零的点称为驻点，此时定理1可表达为“对可导函数，极值点一定是驻点。假设可导函数无驻点，则函数无极值。驻点不一定为极值点。例如，有驻点，但不是极值点。千万不要误认为只有驻点才可能成为极值点，导数不存在的点也有可能成为极值点，即可能的极值点例如，在处不可导，但在处有极小值0。3、函数取得极值的充分条件定理2：判别法一设或不存在假设时，时，则为极大点。假设时，时，则为极小点。假设在两侧，不变号，则不是极值点。定理3：判别法二设假设，则为极大点。假设，则为极小点。假设，则需进一步判断。4、求极值步骤求。求出的驻点及不存在的点。用判别法一或判别法二判定上述点是否为极值点，然后求出极值。例、求极值 解：法一：为极大点，极大值为0 为极小点，极小值为法二：故为极大点，为极小点。，故为极大点，极大值为，故为极大点，极大值为6、最大值、最小值问题1、函数在闭区间上的最大、最小值设，求上的最大、最小值。解：求出内的所有可疑点驻点、不可导点，然后比较，最大小者即为最大小值。例1、求 的最大小值。解：故最大值为，最小值为故最大值为，最小值为2、设内可导，且有唯一驻点，假设为极大小值，则也为最大小值。例2、求的最大小值。解：即为极大值，同时也是最大值，最大值为。3、在实际中，假设仅有唯一驻点，且由经历知的最大小值一定存在，则即为最大小值，无须判断。例3、P195 T12解：此时，7、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性1、定义：设，假设对任意，恒有 ，则称内的图形为凹的凸的。2、判别法假设内二阶可导，则；例1、判定曲线的凹凸性 解：，故。故3、用凹凸性证明不等式例2、证明证：设， 故对，即。二、拐点1、拐点的必要条件 设的二阶导数连续，且为拐点，则，反之不成立，例如，不是拐点。 可能的拐点2、判别法法一：设为可疑点，假设在两侧变号，则为拐点，否则不是拐点。法二：设，假设，则为拐点，否则要进一步判断。例3、求以下曲线的拐点与凹凸区间 解：又，故，为拐点。故。8、函数图形的描绘1、渐近线 假设，则称的垂直渐近线。 假设，则称的水平渐近线。2、作图的一般步骤 讨论的定义域、奇偶性、周期性，并求出、。 求出求出、的根及求出、不存在的点，用这些点将定义域划分为假设干小区间。 确定求出、在上述小区间内的符号，由此确定在小区间内的增减性、凹凸性，并求出极值点、拐点。 求出的渐近线。 求出上述所有点的值，连点作图。例1、画出的图形解：的定义域为，不存在的点为，上述点将定义域分为。各区间内、符号，的增减、凹凸及极值、拐点如下：36-+0-0+极大点拐点，即有水平渐近线，垂直渐近线9、曲率一、曲率的定义1、平均曲率由上图知，曲线段弯曲程度与曲线段切线方向变化的角度以及曲线段的弧长有关，并且越大，弯曲程度越大，越大，弯曲程度越小。 称为平均曲率2、曲率定义定义：如图，假设沿曲线趋于时，曲线段的平均曲率有极限，则称此极限的绝对值为曲线在点的曲率，记为，即 二、曲率的计算1、弧长的微分如图，故 从而2、的计算公式如图，故例1、求曲线的曲率。解：，即圆的曲率为一常数。三、曲率圆和曲率半径如图，在曲线上一点处作出其切线与法线，在法线上取，记为，则以为圆心，以为半径的圆称为点处的曲率圆，称为曲率中心，称为曲率半径。显然，曲线与曲率圆在点处有共同的切线和曲率。例2、曲线上哪一点曲率半径最小。解：显然，当时，即在处顶点，曲率最大，曲率半径最小。