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单科标准练(一)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|x22x，Bx|1x4，则AB()A(，4)B0,4)C(1,2D(1，)B因为Ax|x22xx|0x2，又Bx|1x4，所以ABx|0x4故选B.2已知复数zm(3i)(2i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是()A(，1) B.C. D.(1，)Bzm(3i)(2i)(3m2)(m1)i，复数对应点的坐标为(3m2，m1)，若对应点的坐标在第三象限，则解得m，即实数m的取值范围是，故选B.3已知实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件B当ab时，若c0，则ac2bc2，不能推出“ac2bc2”；当ac2bc2，可得ab；故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件故选B.4已知Sn为等差数列an的前n项和，若S318，a39，则a6()A12B15C18D21C设等差数列an的公差为d，由S318，a39，得解得a13，d3，所以a6a15d18.故选C.5已知函数f(x)，则f(2 019)()A2 B.C2De4C因为x2，f(x)f(x2)，所以f(x2)f(x)，故f(x4)f(x2)f(x)，因此x2，函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2 019)f(34504)f(3)f(1)，又x2，f(x)ex1x2，所以f(2 019)f(1)(11)2.故选C.61927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为()A5B6C7D8D因为初始值为a3，i1，第一步：a331101，i112，进入循环；第二步：a51，i213，进入循环；第三步：a351161，i314，进入循环；第四步：a81，i415，进入循环；第五步：a41，i516，进入循环；第六步：a21，i617，进入循环；第七步：a1，i718，结束循环，输出i8.故选D.7已知展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为()A. B.CDA因为展开式中前三项的二项式系数的和等于22，所以CCC22，整理得n(n1)42，解得n6，所以二项式展开式的通项为Tk1C (1)kx2kC(1)kx3k6，令3k60可得k2，所以展开式中的常数项为C(1)2.故选A.8.已知正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是()AmD1QBm平面B1D1QCmB1QDm平面ABB1A1B正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BDB1D1，mBDB1D1，m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q，m平面B1D1Q.故选B.9函数f(x)(x)的图象大致为()A因为f(x)，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C；又f0, 排除D；又f(x)，因为x，由f(x)0得2cos x10，解得x.由f(x)0得2cos x10，解得x或x.所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故选A.10将函数ysin 2x的图象向右平移(0)个单位后与ysin 2x的图象重合，则的最小值为()A. B.C. D.D因为将函数ysin 2x的图象向右平移(0)个单位后，可得ysin(2x2)，由题意可得sin(2x2)sin 2x，所以22k，kZ，因此k，kZ，又0，所以的最小值为.故选D.11已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于P(m,2)，则|AB|()A10B8C6D4B如图，记AB中点为Q，连结PQ，作AM垂直准线于点M，BN垂直准线于点N，因为直线AB过抛物线焦点，所以设直线AB的方程为xny1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于P(m,2)，所以PQ垂直准线，所以2，即y1y24，由得y24ny40，所以y1y24n，因此n1，所以|AB|x1x2p(ny11)(ny21)2(y1y2)48 .故选B.12已知f(x)为函数f(x)的导数，且f(x)x2f(0)xf(1)ex1，若g(x)f(x)x2x，方程g(ax)x0有且只有一个根，则a的取值范围是()A. B.C.D(，0D因为f(x)x2f(0)xf(1)ex1，所以f(0).又f(x)xf(0)f(1)ex1，所以f(1)1f(1)，因此f(1)e，f(0)1，所以f(x)x2f(0)xf(1)ex1x2xex，因此g(x)f(x)x2xex，因为方程g(ax)x0有且只有一个根，所以eaxx有且只有一个根，即a有且只有一个实根，且x0；令h(x)，(x0)，则h(x)，由h(x)0得xe，所以当xe时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当0xe时，h(x)0，函数h(x)单调递增；故h(x)最大值为h(e)，又h(1)0，作出函数h(x)的简图如图所示因为a有且只有一个实根，只需直线ya与曲线h(x)有且只有一个交点，结合图象可得a0或a.故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a(m,1)，b(4，m)，ab|a|b|，则m_.2因为a(m,1)，b(4，m)，所以ab5m，|a|，|b|，又ab|a|b|，所以25m2(m21)(m216)，m0，解得m2.14已知双曲线1(a0)的离心率为a，则该双曲线的渐近线为_yx双曲线1(a0)的离心率为a，可得a，解得a1，所以双曲线方程为1，所以该双曲线的渐近线为yx.15已知实数x，y满足则zy2x的最小值_1由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数zy2x表示直线y2xz在 y轴截距，由图象可得，当直线y2xz过点A时截距最小，即z最小由解得A(1,1)，故z的最小值为1.16对于数列an，定义Hn为an的“优值”已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_由题意可得Hn2n1，则a12a22n1ann2n1，所以a12a22n2an1(n1)2n，所以2n1ann2n1(n1)2n，因此an2(n1)，则ankn2(n1)kn(2k)n2，所以数列ankn为等差数列，故SnS5对任意的nN*恒成立，可化为a50，a60，即，解得k. 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图，在ABC中，D是边BC上一点，ABAC，BD1，sinCAD3sinBAD.(1)求DC的长；(2)若AD2，求ABC的面积解(1)在ABD中，由正弦定理，得，在ADC中，由正弦定理，得，因为ABAC，sinADBsinADC，BD1，sinCAD3sinBAD，所以DC3BD3.(2)在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB，在ADC中，由余弦定理，得AC2AD2DC22ADDCcosADC, 因为ABAC，AD2，BD1，DC3，cosADBcosADC.所以41221cosADC49223cosADC，解得cosADC，所以ADC60.所以SABC(BDDC)ADsinADC42sin 602.18(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为CD的中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置，且PAB60.(1)求证：平面PEC平面PAB；(2)求二面角PAEB的余弦值解(1)因为四边形ABCD是正方形，所以折起后PEPA，且PAAB，因为PAB60，所以PAB是正三角形，所以PBPA.又因为正方形ABCD中，E为CD的中点，所以EAEB，所以PAEPBE，所以EPBEPA，所以PEPB，又因为PAPBP，所以PE平面PAB.又PE平面PEC，所以平面PEC平面PAB.(2)取AB中点F，连接PF，EF，则ABPF，ABEF，又PFEFF，则AB平面PEF.又AB平面ABCE，所以平面PEF平面ABCE.在平面PEF内作POEF于O点，则PO平面ABE.以O点为原点，OF为x轴，OP为z轴，如图建立空间直角坐标系在PEF中，PF，PE1，EF2.PO，EO，故P，E，A，(2,1,0)设平面PAE的一个法向量为n1(x，y，z)，则由得令x1，得y2，z，n1.因为平面ABE的法向量为n2(0,0,1)，则cosn1，n2，又二面角PAEB为锐二面角，二面角PAEB的余弦值为.19(本小题满分12分)已知以椭圆E：1(ab0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形(1)求椭圆E的方程；(2)直线l：ykxm(k、m0)与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M.若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k12k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由解(1)因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以解得所以椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)(x1、y10)，B(x2，y2)(x2、y20)，则C(x1，y1)，kAO，因为kAOk1，所以k，联立消y，得(12k2)x24kmx2m240，所以x1x2，y1y2k(x1x2)2m，所以k1，直线BC的方程为：yy1(xx1)，令y0，由y10，得x3x1，所以M(3x1,0)，k2.所以k12k220.所以k12k2为定值0.20(本小题满分12分)某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1)：图1图2规定产品的质量指标值在65,75)的为劣质品，在75,105)的为优等品，在105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该企业为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值uivi (ui)(vi) (ui)216.3023.200.811.62表中uiln xi，viln yi，ui，vi.根据散点图判断，yaxb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程求y关于x的回归方程；用所求的回归方程估计该企业应投入多少年营锁费， 才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？(收益销售利润营销费用，取e3.0120)，附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解(1)设每件产品的销售利润为X，则X的可能取值为1,3,5.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.05,0.85,0.1.所以P(X1)0.05；P(X3)0.85；P(X5)0.1.所以X的分布列为X135P0.050.850.1所以E(X)(1)0.0530.8550.13(元)即每件产品的平均销售利润为3元(2)由yaxb得，ln yln abln x.令uln x，vln y，cln a，则vcbu，由表中数据可得，0.5，则0.53.01.所以v3.010.5u，即ln y3.010.5 ln xln(e3.01x0.5)因为e3.0120，所以y20x0.5.故所求的回归方程为20x0.5.设年收益为z万元，则z3yx320x0.5x.令tx0.5，则z60tt2(t30)2900，所以当t30，即x900时，z有最大值900.即该企业应该投入900万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大900万元21(本小题满分12分)已知函数f(x)x有两个极值点(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2(x1x2)是f(x)的两个极值点，证明：2ln x1ln x20.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln xxa.设g(x)ln xxa，则由题意得，g(x)在(0，)内有两个变异零点g(x)1，令g(x)0，解得0x1；令g(x)0，解得x1.所以g(x)在(0,1上单调递增，在1，)上单调递减，因此g(x)maxg(1)a1.当a1时，g(x)max0，这时g(x)在(0，)上没有变号零点；当a1时，ea(0,1)，ea(1，)，又因为g(ea)0，g(ea)0，g(1)0，所以g(x)在(0,1)和(1)内分别有一个变号零点综上，a的取值范围为(1，)(2)f(x)的极值点x1，x2就是g(x)的零点，即g(x1)g(x2)0.因为g(x)在(0,1单调递增，而在1，)上单调递减，且x1x2，所以x1(0,1)，x2(1，)设h(x)g(x)g3ln xx，x(0,1)，则h(x)1.因为x(0,1)时，x22x20，所以当x(0,1)时，h(x)0，所以h(x)在(0,1上单调递减又因为h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，即g(x)g，因为x1(0,1)，所以g(x1)g.又因为g(x1)g(x2)，所以g(x2)g.由于x2，(1，)，而g(x)在(1，)上单调递减所以x2，从而xx21，因此2ln x1ln x20.请考生在第22,23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，tR)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)动点P，Q分别在曲线C1，C2上运动，求两点P，Q之间的最短距离解(1)由22cos 30，可得x2y22x30，化为(x1)2y24.(2)由已知得曲线C1的普通方程：2xy70，点Q为曲线C2上动点，令点Q(12cos ，2sin )，R.设点Q到曲线C1的距离为d，所以d2，其中tan ，即两点P，Q之间的最短距离为2.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若xa,1(其中a1)时，f(x)|xa|恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)当x2时，x43，得x1，所以x2；当1x2时，3x3，得x1，所以1x2；当x1时，x43，得x7.综上，不等式f(x)3的解集为x|x7或x1(2)因为xa,1，所以f(x)|xa|等价于2|x1|(2x)xa，等价于xa,1时，2|x1|2a恒成立，等价于xa,1时，a22x22a恒成立，即x恒成立所以a，且1，解得4a2.所以实数a的取值范围是4，2 - 13 -
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