（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题五 数列 第23讲 数列的递推公式及等差、等比数列的判定与证明练习

第23讲 数列的递推公式及等差、等比数列的判定与证明A级高考保分练1已知数列an中，a11且(nN*)，则a10_.解析：，是以1为首项，为公差的等差数列，(101)134，故a10.答案：2设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：由已知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则1(n1)n，所以Sn.答案：3已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)_.解析：因为log3an1log3an1，所以an13an，所以数列an是公比q3的等比数列，所以a2a4a6a2(1q2q4)9，所以a5a7a9a5(1q2q4)a2q3(1q2q4)93335，所以log(a5a7a9)log3355.答案：5 4设数列an的前n项和为Sn，且a11，an13Sn1，则S4_.解析：an13Sn1，an3Sn11(n2)，得：an14an(n2)，又a11，a23a114，an是首项为1，公比为4的等比数列，S485.答案：855(2019宿迁期末)已知数列an的前n项和为Sn，an12an1，a11，则S9_.解析：由an12an1，得an112(an1)，即2，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，设bnan1的前n项和为Tn，则T91 022，S9T991 013.答案：1 0136设Sn为数列an的前n项和，且a14，an1Sn，nN*，则a5_.解析：法一：由an1Sn，得Sn1SnSn，则Sn12Sn，又S1a14，所以数列Sn是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn42n12n1，则a5S5S4262532.法二：当n2时，由an1Sn，得anSn1，两式相减，得an1anan，即an12an，所以数列an是从第2项开始，公比为2的等比数列又a2S14，所以a5a22342332.答案：327若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10的k值为_解析：因为3an13an2，所以an1an，所以数列an是首项为15，公差为的等差数列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10的k值为23.答案：238已知数列an满足a11，a2，若an(an12an1)3an1an1(n2，nN*)，则数列an的通项an_.解析：由an(an12an1)3an1an1，得anan1an1an12an1an12anan1，2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以22n12n，所以2，4，2n1，所以2222n12n2，所以2n22n1，所以an.答案：9已知数列an中，a11，an1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析：因为an1(nN*)，所以1，设t3，所以3tt1，解得t，所以3，又1，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以3n1，所以，所以an.答案：an10(2019南通、泰州、扬州一调)已知数列an是等比数列，有下列四个命题：数列|an|是等比数列；数列anan1是等比数列；数列是等比数列；数列lg a是等比数列其中正确的命题有_个解析：设等比数列an的公比为q，对于中数列|an|，|q|，且首项|a1|0，所以为等比数列；对于中数列，q2，且首项a1a20，所以为等比数列；对于中数列，且首项0，所以为等比数列；对于中数列，若a11，则lg a10，所以不是等比数列故正确的命题有3个答案：311已知数列an，bn均为各项都不相等的数列，Sn为an的前n项和，an1bnSn1(nN*)(1)若a11，bn，求a4的值；(2)若an是公比为q的等比数列，求证：存在实数，使得bn为等比数列解：(1)由a11，bn，知a24，a36，a48.(2)证明：因为an1bnSn1，所以当n2时，anbn1Sn11，得，an1bnanbn1an，由得，bnbn1bn1，所以bn.又bn0(否则bn为常数数列，与题意不符)，所以存在实数，使得bn为等比数列12已知数列an的前n项和为Sn，满足a12，Snnanan1，其中n2，nN*，R.(1)若0，4，bnan12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列；(2)若a23，且，求证：数列an是等差数列解：(1)证明：若0，4，则Sn4an1(n2)，所以an1Sn1Sn4(anan1)，即an12an2(an2an1)，所以bn2bn1.又由a12，a1a24a1，得a23a16，a22a120，即bn0，所以2，故数列bn是等比数列(2)证明：令n2，则S22a2a1，即a1a22a2a1.又a12，a23，得562.又，解得，1.所以Snanan1.令n3，则S3a3a2，即a1a2a3a3a2.由a12，a23，得5a3a33，所以a34，所以a1，a2，a3成等差数列由Snanan1，得Sn1an1an，两式相减得an1an1ananan1，即(n1)an1(n2)an2an10，所以nan2(n1)an12an0，两式相减得nan22(n1)an1(n2)an2an2an10，所以n(an22an1an)2(an12anan1)0，所以an22an1an(an12anan1)(an2an1an2)(a32a2a1)因为a12a2a30，所以an22an1an0，即数列an是等差数列B级难点突破练1(2019海安中学期末)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析：当n1时，S1a12a2，则a2.当n2时，Sn12an，则SnSn1an2an12an，所以，所以当n2时，数列an是公比为的等比数列，所以an所以Sn1n21n1.答案：n12已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Sn14an2，则a12_.解析：由S24a12，得a1a24a12，联立a12，解得a28.又an2Sn2Sn14an14an，an22an12(an12an)，数列an12an是以a22a14为首项，以2为公比的等比数列，an12an42n12n1，1，1，数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，1(n1)n，ann2n，a121221249 152.答案：49 1523已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.(1)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；(2)若am2是am1和am的等差中项，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列吗？解：(1)证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3S62S9.若q1，则3a16a118a1，解得a10，这与an是等比数列矛盾，所以q1，于是有，整理得q3q62q9.因为q0且q1，所以q3，所以a8a2q6a2，a5a2q3a2，所以2a8a2a5，即a8a2a5a8，故a2，a8，a5成等差数列(2)依题意，得2am2am1am，则2a1qm1a1qma1qm1.在等比数列an中，a10，q0，所以2q2q1，解得q1或q.当q1时，SmSm1ma1(m1)a1(2m1)a1，Sm2(m2)a1.因为a10，所以2Sm2SmSm1，此时Sm，Sm2，Sm1不成等差数列当q时，Sm2 ，SmSm1，所以2Sm2SmSm1.故当q1时，Sm，Sm2，Sm1不成等差数列；当q时，Sm，Sm2，Sm1成等差数列4已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；(2)若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列解：(1)因为数列an是公差为2的等差数列，所以ana12(n1)，a1n1.因为(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)证明：由(n1)bnan1，得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，两式相减，并化简得an2an1(n2)bn1nbn.从而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因为对一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1，(n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，则an1an2(n1)所以数列an是等差数列- 8 -