大学高等数学上册：14.4 高斯公式

设设空空间间闭闭区区域域 由由分分片片光光滑滑的的闭闭曲曲面面围围成成,函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或或14.4 高斯公式高斯公式 14.4.1 高斯公式高斯公式这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧，cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦.证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xyD.xyzo 由由1,2 和和3 三三部部分分组组成成,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 1 2 3 xyD为柱面上的一部分为柱面上的一部分3 根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR这这里里),(),(21yxzyxz，1 取取下下侧侧,2 取取上上侧侧,3 取取外外侧侧,),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于是于是.0),(3 dxdyzyxR.),(dxdyzyxRdvzR,),(dydzzyxPdvxP同理同理,),(dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：种形式：二、简单的应用二、简单的应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3,0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.xozy113解解,0,)(yxRQxzyP ,0,0,zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 xozy113 301020)(sinrdzzrdrd使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数;2 2.是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧.xyzo例例 2 2 计算曲面积分计算曲面积分 dSzyx)coscoscos(222 ,其中为其中为 锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0(hhz 之间的部分的下侧之间的部分的下侧,cos,cos,cos 是在是在),(zyx处处 的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.h xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 1)coscoscos(222dSzyx ,0)(dvyx zdvdSzyx2)coscoscos(1222.214h xyDxyzoh 1 根据对称性可知根据对称性可知 hyxhzdzrdrd220202 dvzyx)(2 1)coscoscos(222dSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222 421h 4h .214h 12dSz例例 3 3 设函数设函数),(zyxu和和),(zyxv在闭区域在闭区域 上具上具有一阶及二阶连续偏导数，证明有一阶及二阶连续偏导数，证明 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu 其中是闭区域其中是闭区域 的整个边界曲面，的整个边界曲面，nv 为函数为函数),(zyxv沿的外法线方向的方向导数沿的外法线方向的方向导数.证证,coscoscos zvyvxvnv dSnvu dSzvyvxvu)coscoscos(dSzvuyvuxvucos)(cos)(cos)(利用高斯公式，即得利用高斯公式，即得 dSnvu ,)()()(dxdydzzvuzyvuyxvux符符号号222222zyx ，称称为为拉拉普普拉拉斯斯(L La ap pl la ac ce e)算算子子，这这个个公公式式叫叫做做格格林林第第一一公公式式 ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu ,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件的边界曲线？的边界曲线？无关而只取决于无关而只取决于与曲面与曲面，曲面积分，曲面积分问题：在怎样的条件下问题：在怎样的条件下 RdxdyQdzdxPdydz为零？为零？任意闭曲面的曲面积分任意闭曲面的曲面积分即在怎样的条件下，沿即在怎样的条件下，沿内恒成立内恒成立在在是等式是等式件件分为零）的充分必要条分为零）的充分必要条内任一闭曲面的曲面积内任一闭曲面的曲面积的边界曲线（或沿的边界曲线（或沿无关而只取决于无关而只取决于取曲面取曲面内与所内与所在在则曲面积分则曲面积分，内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数在在、，是空间二维单连通区域是空间二维单连通区域设设定理定理GzRyQxPGGRdxdyQdzdxPdydzGzyxRzyxQzyxPG0),(),(),(2 我们有以下结论：我们有以下结论：三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度设设有有向向量量场场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为1.1.通量的定义通量的定义:RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0称称为为向向量量场场),(zyxA向向正正侧侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量.设设有有向向量量场场),(zyxA,在在场场内内作作包包围围点点M的的闭闭曲曲面面,包包围围的的区区域域为为V,记记体体积积为为V.若若当当V收收缩缩成成点点M时时,极限极限VSdAMV lim存在存在,则则称称此此极极限限值值为为A在在点点M处处的的散散度度,记记为为Adiv.2.2.散度的定义散度的定义:散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zRyQxPAdiv 高斯公式可写成高斯公式可写成 dSAdvAdivn)coscoscos(0 RQPnAAn 的边界曲面，的边界曲面，是空间闭区域是空间闭区域其中其中 .的外侧法向量上的投影的外侧法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn四、小结四、小结 dSAdvAdivn3应用的条件应用的条件4物理意义物理意义2高斯公式的实质高斯公式的实质1高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.一、一、利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分:1 1、dxdyzdzdxydydzx333 ,其中其中 为球面为球面 2222azyx 外侧；外侧；2 2、zdxdyydzdxxdydz,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之间的圆柱体之间的圆柱体922 yx的整个表面的外的整个表面的外 侧；侧；3 3、xzdydz,其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上侧的上侧.练练 习习 题题二、证明二、证明:由封闭曲面所包围的体积为由封闭曲面所包围的体积为 dSzyxV)coscoscos(31 ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦是曲面的外法线的方向余弦.三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2(,穿过曲面穿过曲面:为为 立方体立方体ayax 0,0,az 0的全表面的全表面,流流 向外侧的通量向外侧的通量.四、求向量场四、求向量场kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度.五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的 具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导的外法线方向的方向导 数数.证证明明:dSnuvnvudxdydzuvvu)()(其中其中 是空间闭区域是空间闭区域 的整个边界曲的整个边界曲面面.(注注 222222zyx ,称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子)练习题答案练习题答案一、一、1 1、5512a；2 2、81；3 3、44R.三、三、)62(23aa.四、四、)sin(2)sin(2xzxzxyxyeAdivxy .