第四章平面力系简化平衡方程

（1 1）掌握平面任意力系向一点的简化）掌握平面任意力系向一点的简化-主矢主矢和主矩和主矩（2 2）掌握平面任意力系的平衡条件）掌握平面任意力系的平衡条件平衡方程平衡方程（3 3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩擦的物系平衡问题的处理）擦的物系平衡问题的处理）F F1 1A AC CF Fn nB BF F2 2O OF F1 1 m1 1mn nF Fn n m2 2F F2 2 O OY YX X将刚体上的所有将刚体上的所有力平移至指定点力平移至指定点O:O:简化中心简化中心F F1 1=F=F1 1 ，F F2 2=F=F2 2 ，F Fi i=F=Fi i ，F Fn n=F=Fn n ，R R=F=F1 1+F+F2 2+F+F3 3+FnFn=F=Fi iM MO O=m=mO O（F Fi i）R R MOm mi i=m mi i（FiFi），），i=1i=1，2 2，n nF Fi imi iF Fi i简化中心：简化中心：O O点称为简化中心。点称为简化中心。主矢主矢 RR：力系中各力的矢量和；和简化中心的位力系中各力的矢量和；和简化中心的位 置置无关。无关。主主 矩矩 M MO O：平面力系中各力对于简化中心的矩的代数和平面力系中各力对于简化中心的矩的代数和称为该力系对简化中心的主矩，其一般随简化中心的位称为该力系对简化中心的主矩，其一般随简化中心的位置的改变而变化。置的改变而变化。结结 论：论：平面任意力系向作用面任一点简化后，一般平面任意力系向作用面任一点简化后，一般得到一个力和一个力偶。这个力的力矢量等于力系中各得到一个力和一个力偶。这个力的力矢量等于力系中各力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力对简化力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力对简化中心之矩的代数和，即力系对简化中心的主矩。中心之矩的代数和，即力系对简化中心的主矩。R方向方向:cos=(4-5)cos=RxRyR R（1）主矢量）主矢量R：R=F=F1 1+F+F2 2+F+Fn n=F=Fi i R大小：R=(RR=(Rx x)2 2+(R+(Ry y)2 2 =（XX）2 2+（YY）2 2 (4-4)(4-4)(2)主矩主矩Mo:Mo=m1+m2+mn=mmi=Mo（Fi）(4-2)(4-2)解：解：Rx=40cos45+60cos45+60cos60-80sin30=60.7NRy=40sin45-60sin45-60sin60-80cos30=-106.1NR=(R x)2+(R y)2=122.4Ncos=60.7/122.4,=60.27cos=-106.1/122.4，=29.9F F1 1F F2 2A AyxF F3 360F F4 430R RMAMA=Mo（Fi）=(-60cos45-60cos60 -60sin60+80sin30)1 =-84.4 Nm1.若若R=0=0，Mo=0，原力，原力系为平衡力系，物体处于系为平衡力系，物体处于平衡状态。平衡状态。O OY YX X2若若 R=0=0，Mo0，原力系与一力偶等效，原力系与一力偶等效，其力偶矩就是原力系其力偶矩就是原力系 的的主矩。并且简化结主矩。并且简化结 果与果与简化中心位置无关。简化中心位置无关。O OY YX XMO0R=0R=0MO=0平衡平衡合力偶合力偶3若若 R 00，Mo=0，原力系，原力系简化为一合力，简化为一合力，合力通过简化中合力通过简化中心。主矢心。主矢R 即即为为原力系的合力。原力系的合力。4若若 R 00，Mo0，原力系可，原力系可通过应用力的平移通过应用力的平移定理进一步简化为定理进一步简化为一合力。合力的作一合力。合力的作用线不通过简化中用线不通过简化中心心O。O OR RMOR R00O OY YX X合力合力R0O Od=MO/RR=RR=Rd合合力力Mo=R Rd=Rd=Rd=mo(R)Mo=mmo（Fi）Mo(R)=mmo（Fi）O OY YX XR R MOF F1 1A AC CF Fn nB BF F2 2F Fi iO OF F1 1 m1 1mn nF Fn n m2 2F F2 2 mi iF Fi id=Md=MO O/R/RO OR=RR=Rd合合力力1平面一般力系平衡的充分与必要的条件是：平面一般力系平衡的充分与必要的条件是：R=0=0，Mo=0 2平面一般力系的平衡方程：平面一般力系的平衡方程：（1）一般式：一般式：X=0X=0，Y=0Y=0，M Mo（Fi）=0 （4-94-9）（2）二矩式：二矩式：X=0X=0，mmA（Fi）=0 m mB（Fi）=0 限制条件：限制条件：X轴不能与轴不能与A点和点和B点的连线垂直。点的连线垂直。（4-104-10）O OY YX X若不满足限制条件，不能保证为若不满足限制条件，不能保证为平衡力系，方程组线性相关。平衡力系，方程组线性相关。R0A AB B（3）三矩式：）三矩式：mA（F i）=0 m mB（Fi）=0 mmC（Fi）=0 限制条件：限制条件：A、B、C三点不共线。三点不共线。（4-114-11）C CY YX X若不满足限制条件，不能保证为若不满足限制条件，不能保证为平衡力系，方程组线性相关。平衡力系，方程组线性相关。R0A AB Bq qAB1.5LLXyYAXANB解（解（1 1）取整体为研究对取整体为研究对象，作受力图如图；象，作受力图如图；（2 2）列平衡方程，）列平衡方程，求解未知力。求解未知力。X=0X=0，Y=0Y=0，m mA（Fi）=0X XA A+qL+qL=0=0Y YA A+N+NB B=0=0-0.5L-0.5LqLqL1.5LN1.5LNB B=0=0X XA A=-qL=-qL()()N NB B=qL/3=qL/3Y YA A=-qL/3()=-qL/3()B BC CP P30A AK KL LaaaayxN NAN NBN NC C解（解（1 1）取整体为研究对取整体为研究对象，作受力图如图；象，作受力图如图；（2）二矩式平衡方程）二矩式平衡方程：mL（Fi）=0 mB（Fi）=0 Y=0，Pa-NC a+2aNAcos30=02Pa+2aNAcos30-aNAsin30=0NB-NAcos30=0NA=-1.62P()NB=-1.40P()NC=-1.81P()q qL/2L/2L/2L/2合力合力Q=ql/2Q=ql/22L/32L/3L/3L/3q q合力合力Q=qlQ=ql均布荷载均布荷载三角形分布荷载三角形分布荷载平面平行力系平衡方程（平面平行力系平衡方程（Y轴为平行轴）：轴为平行轴）：（1）一矩式：）一矩式：Y=0Y=0，Mo（F）=0 （4-12）（2 2）二矩式：）二矩式：MA（F）=0，MB（F）=0 （4-13）限制条件：限制条件：A、B连线不与连线不与Y轴平行。轴平行。解（解（1 1）取整体为研究对象，作受力图如图；取整体为研究对象，作受力图如图；mA（Fi）=0，（6-2）Qmax-2P=0（2）满载时临界平衡状态：起重机有绕）满载时临界平衡状态：起重机有绕B点向右翻倒的倾势。点向右翻倒的倾势。补充方程：补充方程：NA=0Q QW WP P ABN NAN NB6m12m2m2mQmin=75kN（3）空载时临界平衡状态：）空载时临界平衡状态：W=0起重机有绕起重机有绕A点向左产生翻倒的倾势。点向左产生翻倒的倾势。补充方程：补充方程：NB=0mB（Fi）=0（6+2）Qmin+2P-W（12-2）=0Qmax=350kN（4）75kN Q350kN解（解（1 1）取整体为研究对象：取整体为研究对象：X=0 XA+qL=XB mA（Fi）=0 YB=(qa2/2+P3a/2)/(2a)=qa/4+3P/4(2)(2)取取BCBC为研究对象：为研究对象：mc（Fi）=0 XB=(YBa-Pa/2)/a =qa/4+P/4X=0 XC=XB=qa/4+P/4Y=0 YC=P-YB=P/4-qa/4q qPYAXAYcXcYCXcYBXB XyABaaYAXAq qPaa/2YBXB C静摩擦系数静摩擦系数P56 表表4-1(1)(1)研究临界平衡状态，作受力图时，在有摩擦力的接触研究临界平衡状态，作受力图时，在有摩擦力的接触面除了要画出法向反力面除了要画出法向反力F FN N之外，还要画出最大静滑动摩之外，还要画出最大静滑动摩擦力擦力F Fmaxmax，力，力F Fmaxmax的指向与物体的运动趋势相反。的指向与物体的运动趋势相反。(2)(2)列出平衡方程之后，还要写补充方程列出平衡方程之后，还要写补充方程F Fmaxmax f fs sF FN N。有。有几个不光滑的接触面，就要写几个补充方程。几个不光滑的接触面，就要写几个补充方程。(3)(3)由于考虑摩擦的平衡问题的解是有范围的，求解后要由于考虑摩擦的平衡问题的解是有范围的，求解后要分析解的范围，将问题的解用不等式表示。分析解的范围，将问题的解用不等式表示。作业：4-14-1，4-24-2，4-34-3（a a），），4-54-5，4-64-6（a a），），4-74-7，4-104-10，4-124-12，4-154-15，4-174-17，4-194-19，4-234-23