25相似三角形及其应用（31张含13年试题）

第第2121课时相似三角形及其应用课时相似三角形及其应用 回回 归归 教教 材材回回 归归 教教 材材考考 点点 聚聚 焦焦考考 点点 聚聚 焦焦归归 类类 探探 究究归归 类类 探探 究究 考纲要求考纲要求 1 1了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题例的性质解决简单的问题 2 2了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题简单的实际问题 3 3了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质其性质.命题趋势命题趋势相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.考考 点点 聚聚 焦焦考点考点1 1相似图形的有关概念相似图形的有关概念 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用相似图形相似图形 形状相同的图形叫做相似图形形状相同的图形叫做相似图形 相似多相似多边形边形 定义定义 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似比相等，那么这两个多边形相似 相似比相似比 相似多边形对应边的比称为相似比相似多边形对应边的比称为相似比(一般用一般用k表示表示)相似三相似三角形角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似当相似比三角形相似当相似比k1时，两个三角形全等时，两个三角形全等 考点考点2 2比例线段比例线段第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用定义定义 防错提醒防错提醒 比例比例线段线段 对于四条线段对于四条线段a，b，c，d，如，如果果_(或或a bc d)，那么这四条线段叫做成比例线那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段段，简称比例线段求两条线段的比时，对求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长这两条线段要用同一长度单位度单位 abcd考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用一条线段的黄金分割一条线段的黄金分割点有点有_个个 黄金黄金分割分割 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB分成两条线段 AC 和 BC(ACBC)，如果BCACACAB，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C叫做线段 AB 的黄金分割点，AC与 AB 的比叫做黄金比，黄金比为_0.618 两两 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材考点考点3 3平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比的比_2推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两或两边的延长线边的延长线)，所得的对应线段的比，所得的对应线段的比_第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用相等相等 相等相等 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点4 4相似三角形的判定相似三角形的判定 判定定理判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形的三角形与原三角形_ 判定定理判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的如果两个三角形的三组对应边的_相等，那相等，那么这两个三角形相似么这两个三角形相似 判定定理判定定理3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的的_相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似 判定定理判定定理4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应对应_，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似 拓展拓展 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似原直角三角形相似 相似相似 比比 夹角夹角 相等相等 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点5 5相似三角形的性质相似三角形的性质 三角形三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比等于相似比 相似多相似多边形边形(1)相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点6 6位似位似 位似图位似图形定义形定义 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心形，这个点叫做位似中心 位似与相位似与相似的关系似的关系 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行 位似图形位似图形的性质的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于等于_；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于位似图形对应点的连线或延长线相交于_点；点；(3)位似图形对应边位似图形对应边_(或在一条直线上或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等位似图形对应角相等 相似比相似比 一一 平行平行 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用以坐标原点以坐标原点为中心的位为中心的位似变换似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于，那么位似图形对应点的坐标的比等于_ 位似位似作图形作图形(1)确定位似中心确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心连接图形各顶点与位似中心O的线段的线段(或延长线或延长线)；(3)按照相似比取点；按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形顺次连接各点，所得图形就是所求的图形 k或或k 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点考点7 7相似三角形的应用相似三角形的应用几何图形几何图形的证明与的证明与计算计算常见常见问题问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积等面积等相似三角相似三角形在实际形在实际生活中的生活中的应用应用建模建模思想思想建立相似三角形模型建立相似三角形模型常见常见题目题目类型类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；形求解；(2)计算从底部能直接测量的物体的高度；计算从底部能直接测量的物体的高度；(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度；计算从底部不能直接测量的物体的高度；(4)计算不能直接测量的河的宽度计算不能直接测量的河的宽度考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材归归 类类 探探 究究探究一比例线段探究一比例线段命题角度：命题角度：1.比例线段；比例线段；2.黄金分割在实际生活中的应用；黄金分割在实际生活中的应用；3.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材例例12013上海上海如图如图211，已知在，已知在ABC中，点中，点D、E、F分别是边分别是边AB、AC、BC上的点，上的点，DEBC，EFAB，且，且ADDB35，那么，那么CFCB等于等于()A58 B38C35 D25第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用图图211A 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解析解析 先由先由AD DB3 5，求得，求得BD AB的长，再的长，再由由DEBC，根据平行线分线段成比例定理，可得，根据平行线分线段成比例定理，可得CE ACBD AB，然后由，然后由EFAB，根据平行线分线段成比例定，根据平行线分线段成比例定理，可得理，可得CF CBCE AC，则可求得答案具体解题过，则可求得答案具体解题过程如下：程如下：AD DB3 5，BD AB5 8.DEBC，CE ACBD AB5 8，EFAB，CF CBCE AC5 8.故选故选A.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究二相似三角形的性质及其应用探究二相似三角形的性质及其应用 命题角度：命题角度：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系利用相似三角形性质探求比值关系例例2如图如图212，ABC是一张锐角三角形硬纸片，是一张锐角三角形硬纸片，AD是边是边BC上的高，上的高，BC40 cm，AD30 cm，从这张硬纸片上剪下，从这张硬纸片上剪下一个长一个长HG是宽是宽HE的的2倍的矩形倍的矩形EFGH，使它的一边，使它的一边EF在在BC上，顶点上，顶点G，H分别在分别在AC，AB上，上，AD与与HG的交点为的交点为M.第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用(1)求证：AMADHGBC；(2)求矩形 EFGH 的周长图图212解析解析 (1)证明证明AHGABC，根据相似三角形，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论对应高的比等于相似比，证明结论(2)设设HEx，则，则HG2x，利用第一问中的结论求解，利用第一问中的结论求解考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解：(1)证明：四边形 EFGH 为矩形，EFGH.AHGABC.又HAGBAC，AHGABC，AMADHGBC.(2)由(1)得AMADHGBC.设 HEx，则 HG2x，AMADDMADHE30 x.可得30 x302x40，解得 x12，2x24.所以矩形 EFGH 的周长为 2(1224)72(cm)考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用变式题变式题如图如图213，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，一个人拿着一把刻有厘米刻度的小尺，站在离电线杆约站在离电线杆约20 m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长约40 cm，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？，你能根据以上数据求出电线杆的高度吗？图图213解析解析 运用的是相似三角形运用的是相似三角形的对应高的比等于相似比，来求出电的对应高的比等于相似比，来求出电线杆的高度，注意单位的转化线杆的高度，注意单位的转化考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解：根据题意，得解：根据题意，得AOBDOC，所以所以CD AB20 0.4，即即CD 0.1220 0.4，解得解得CD6 m.故电线杆的高度为故电线杆的高度为6 m.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究三三角形相似的判定方法及其应用探究三三角形相似的判定方法及其应用命题角度：命题角度：1利用两个角判定三角形相似；利用两个角判定三角形相似；2利用两边及夹角判定三角形相似；利用两边及夹角判定三角形相似；3利用三边判定三角形相似利用三边判定三角形相似.第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用例例32013巴中巴中 如图 214，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE上一点，且AFEB.(1)求证：ADFDEC；(2)若 AB8，AD63，AF43，求 AE 的长考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用图图214解：解：(1)证明：在证明：在ABCD中，中，ABCD，ADBC，CB180，ADFDEC.AFDAFE180，AFEB，AFDC.在在ADF与与DEC中，中，ADFDEC.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用(2)在ABCD 中，CDAB8，由(1)知ADFDEC，ADDEAFCD，DEADCDAF6384312.在 RtADE 中，由勾股定理得：AE DE2AD2 122（63）26.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材方法点析方法点析 判定两个三角形相似的常规思路：判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角先找两对对应角相等；相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的角形的“传递性传递性”第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究四位似探究四位似 命题角度：命题角度：1.位似图形及位似中心定义；位似图形及位似中心定义；2.位似图形的性质应用；位似图形的性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图利用位似变换在网格纸里作图第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用例例42013孝感孝感 在平面直角坐标系中，已知点 E(4，2)，F(2，2)，以原点 O 为位似中心，相似比为12，把EFO缩小，则点 E 的对应点 E的坐标是()A(2，1)B(8，4)C(8，4)或(8，4)D(2，1)或(2，1)D 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材方法点析方法点析利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：第一步：在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；第二步：；第二步：以点以点P为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取为端点向各关键点作射线；第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取关键点的对应点，满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点即可得到符合要求的新图形点即可得到符合要求的新图形第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解析解析 根据题意画出相应的图形，找出点根据题意画出相应的图形，找出点E的对的对应点应点E的坐标即可的坐标即可 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材探究五相似三角形与圆探究五相似三角形与圆 命题角度：命题角度：1.圆中的相似计算；圆中的相似计算；2.圆中的相似证明圆中的相似证明第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用例例52013黄冈黄冈 如图如图215，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一上一点，点，AD和过和过C点的直线互相垂直，垂足为点的直线互相垂直，垂足为D，且，且AC平分平分DAB.(1)求证：求证：DC为为 O的切线；的切线；(2)若若 O的半径为的半径为3，AD4，求，求AC的长的长图图215考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解：(1)证明：连接 OC.OCOA，OACOCA.又OACDAC，DACOCA，OCAD，OCCD.即 DC 为O 的切线(2)连接 BC.ADCACB90，DACCAB，ADCACB，ADACACAB，即 AC2ADAB.又O 的半径为 3，AB6.又AD4，AC26.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材“直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”的模型作用的模型作用教材母题教材母题 回回 归归 教教 材材 如图如图216，RtABC中，中，CD是斜边上的高，是斜边上的高，ACD和和CBD都和都和ABC相似吗？证明你的结论相似吗？证明你的结论图图204第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用 解解 相似相似证明：证明：ACDBCD90，ACDA90，ABCD.又又ACBBDC90，ABCCBD.AA，ACBADC，ABCACD.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材中考预测中考预测图图217第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用1如图 217，ABC 中，CDAB，垂足为 D.下列条件中，能证明ABC 是直角三角形的有_AB90；AB2AC2BC2；ACABCDBD；CD2ADBD.考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材图图218第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用 如图如图218，小明同学用自制的直角三角形纸板，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边，他调整自己的位置，设法使斜边DF保保持水平，并且边持水平，并且边DE与点与点B在同一直线上，已知纸板的两条在同一直线上，已知纸板的两条直角边直角边DE40 cm，EF20 cm，测得边，测得边DF离地面的高度离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则树高，则树高AB_m.5.5 考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材第第21课时课时相似三角形及其应用相似三角形及其应用解析解析DEFBCD90，DD，DEFDCB，BCEFDCDE.DE40 cm0.4 m，EF20 cm0.2 m，AC1.5 m，CD8 m，BC0.280.4，BC4 m，ABACBC1.545.5(m)考点聚焦考点聚焦归类探究归类探究回归教材回归教材江西省近几年中考试题(2010)23图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开已知伞在撑开的过程中，总有PMPNCMCN6.0分米，CECF18.0分米，BC2.0分米设APx分米（1）求x的取值范围；（2）若CPN60，求x的值；（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留）江西省近几年中考试题(2012)22.如图1,小红家的阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的（一端的横截面）侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量:AB=CD=136,OA=OC=51,OE=OF=34,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条线段,且EF=32.(1)求证:ACBD;(2)求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数(精确到0.1);(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.数据:sin61.90.882,cos61.90.471,tan28.10.533;可使用科学计算器.)