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单科标准练(四) (满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|ylg x，Bx|y，则AB()A0,2B2,0C(0,2D2,0)C由A中的函数ylg x，得到x0，即Ax|ylg x(0，)Bx|y2,2，则AB(0,2，故选C.2设zi3，则z的虚部是()A1BC2iD2Dzi3iiii2i，则z的虚部为2，故选D.3下图为国家统计局发布的2019年上半年全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图，(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)下列说法错误的是()A2019年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B2019年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C2019年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D2019年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点C观察表中数据知A，B，D正确，对选项C,2019年2月CPI环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，故C错误，故选C.4已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1B双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，且其虚轴长为8，由得可得1.故选B.5根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. B.C. D.A4个专家分为3组，每组至少1人，分法为：2,1,1，共有C种，再排到3个县区，故基本事件的总数有CA36种. “甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为A6种，故“甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率” 为.6.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为()A2B2C2D4C在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如图所示：则EF2，A1C2，EFA1C，则截面的面积SEFA1C2，故选C.7若两个非零向量a，b满足|b|2|a|2，|a2b|3，则a，b的夹角是()A. B.C.DD根据题意，设a，b的夹角是，又由|b|2|a|2，且|a2b|3，则(a2b)a24ab4b29，即14(12cos )169，解得cos 1，则，故选D.8函数f(x)xcos xx3的大致图象为()ABCDB函数f(x)xcos(x)(x)3xcos xx3f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，fcos0，排除A，故选B.9执行如图所示程序框图，若输出的S值为20，则条件框内应填写()Ai3?Bi4?Ci4?Di5?D模拟执行程序，可得：i1，S10，满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S10218，i2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体， S8224，i3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S4234，i4，满足判断框内的条件，第4次执行循环体，S42420，i5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为20，则条件框内应填写：i5？故选D.10ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若ABC的面积为(c2a2b2)，则内角C的余弦值等于()A B.CDAABC的面积为(c2a2b2)absin C，sin C2cos C，tan C2，C，cos C.故选A.11设alog0.20.4，b1，则()Aab0abBabab0Cabab0Dab0abCalog0.20.40，b1log4 4log4 10log4 0.40，log0.40.2log0.44log0.40.8(0,1)，01.ab0，abab0.故选C.12.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16，点P在球面上，则四棱锥PABCD体积的最大值为()A8 B.C16 D.D因为球O的表面积是16，所以S4R216，解得R2.如图，四棱锥 PABCD底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则x2y2(2R)22xy，当且仅当xy时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时S正方形ABCD2R28.点P在球面上，当PO底面ABCD时，POR，即hmaxR，则四棱锥PABCD体积的最大值为.故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13函数f(x)3sin xcos x的最大值为_2由题意可知f(x)3sin xcos x22sin2，故函数f(x)3sin xcos x最大值为2. 14甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_乙设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲；设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙；设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙；综合得：会弹钢琴的是乙15已知函数f(x)是定义域为(，)的偶函数，且f(x1)为奇函数，当x0,1时，f(x)1x3，则f_.根据题意，f(x1)为奇函数，则函数f(x)关于点(1,0)对称，则有f(x)f(2x)，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，则有f(x)f(x2)，变形可得f(x4)f(x2)f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，fffff.16已知抛物线C：y22px(p0)，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若3，且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为_6抛物线C：y22px(p0)，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若3，可得直线l的斜率为，如图抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称，可得M(，)，M在抛物线上，所以2p，解得p6. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知an是递增的等比数列，a2a34，a1a43.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等比数列an的公比为q，因为a2a34，a1a4a2a33，所以a2，a3是方程x24x30的两个根解得或 因为an是递增的等比数列，所以a21，a23，则q3.所以数列an的通项公式为an3n2.(2)由(1)知bnn3n2.则Sn131230331n3n2 ，在式两边同时乘以3得，3Sn130231332n3n1，得2Sn3130313n2n3n1，即2Snn3n1，所以Sn(2n1)3n1.18(本小题满分12分)如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB2a，ABC120，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DEBF，BDDE，DE2BF2a，平面BDEF底面ABCD.(1)证明：平面AEF平面AFC；(2)求二面角EACF的余弦值解(1)因为底面ABCD为菱形，所以ACBD，又平面BDEF底面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，因此AC平面BDEF，从而ACEF，ACDE，又BDDE，所以DE平面ABCD，由AB2a，DE2BF2a，ABC120，可知AFa，BD2a，EFa，AE2a.从而AF2FE2AE2，故EFAF.又AFACA，所以EF平面AFC.又EF平面AEF，所以平面AEF平面AFC.(2)取EF中点G，由题可知OGDE，所以OG平面ABCD，又在菱形ABCD中，OAOB，所以分别以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)，则O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(a,0,0)，E(0，a，2a)，F(0，a，a)，所以(0，a,2a)(a,0,0)(a，a,2a)，(a,0,0)(a,0,0)(2a,0,0)，(0，a，a)(0，a,2a)(0,2a，a)由(1)可知EF平面AFC，所以平面AFC的法向量可取为(0,2a，a)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即即令z，得y4，所以n(0,4，)从而cosn，.故所求的二面角EACF的余弦值为.19(本小题满分12分)港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65)，65,75)，75,85内的频率之比为421.(1)求这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间45,75)内的桥梁构件件数为X，求X的分布列与数学期望解(1)设区间75,85内的频率为x，则区间55,65)，65,75)内的频率分别为 4x和2x.依题意得(0.0040.0120.0190.03)104x2xx1，解得x0.05.所以这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n3.由(1)得，区间45,75内的频率为0.30.20.10.6，将频率视为概率得p0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3.且P(X0)C0.600.430.064，P(X1)C0.610.420.288，P(X2)C0.620.410.432，P(X3)C0.630.400.216.所以X的分布列为：X0123P0.0640.2880.4320.216X服从二项分布B(n，p)，所以X的数学期望为E(X)30.61.8. 20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆C上的动点，且PF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)若A，B是椭圆C的左、右顶点，直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当点P在椭圆上运动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF2恒相切解(1)由题意可设椭圆C的方程为1(ab0)，F(c,0)由题意知解得b2，c1，a3.所以椭圆C的方程为1，离心率为e.(2)证明：由题意可设直线AP的方程为yk(x3)(k0)，则点D坐标为(3,6k)，BD中点E的坐标为(3,3k)由得(89k2)x254k2x81k2720.设点P的坐标为(x0，y0)，则3x0，所以x0，y0k(x03).因为点F2坐标为(1,0)，当k时，点P的坐标为，直线PF2x轴，点D的坐标为(3，4)，此时以BD为直径的圆(x3)2(y2)24与直线PF2相切当k时，则直线PF2的斜率为kPF2，所以直线PF2的方程为y(x1)，点E到直线PF2的距离为d3|k|.又因为|BD|6|k|，所以d|BD|，故以BD为直径的圆与直线PF2相切综上，当点P在椭圆上运动时，以BD为直径的圆与直线PF2恒相切21(本小题满分12分)已知函数f(x)x2xln x，g(x).(1)记h(x)f(x)g(x)，试判断h(x)在区间(1,2)内零点个数并说明理由；(2)记(1)中的h(x)在(1,2)内的零点为x0，(x)，若(x)t(tR)在(1，)有两个不等实根x1，x2(x1x2)，判断x1x2与2x0的大小，并给出对应的证明解(1)由题意h(x)f(x)g(x)，那么h(x)x2xln x，定义域为x(0，)h(x)x1ln x，由题设x(1,2)，故h(x)0，即h(x)在区间(1，)上是增函数那么：h(1)ln 10，h(2)2ln 20，并且h(x)在(1,2)上连续的，故根据零点定理，有h(x)在区间(1,2)有且仅有唯一实根，即一个零点(2)(x)，当1xx0时，(x)f(x)x1ln x恒大于0，所以当1xx0时，(x)是增函数；当xx0时，(x)g(x)恒小于0，(x)是减函数(x)t(tR)在(1，)有两个不等实根x1，x2(x1x2)，则x1(1，x0)，x2(x0，)，显然：当x2时，x1x22x0.要证明x1x22x0，即可证明x22x0x1x0，而(x)在xx0时是减函数，故证(x2)(2x0x1)又由(x1)(x2)，即可证：(x1)(2x0x1)即xx1ln x1，(构造思想)，即xx1ln x10，令s(x)x2xln x(1xx0)，由(1)可知：s(x0)0，那么：s(x)xln x1，记P(x)，则P(x).当x(0,1)时，P(x)0；当x1时，P(x)0；故P(x)max；而P(x)0，故P(x)0，而2x0x0，从而有：0；因此：s(x)xln x10，即s(x)单调递增，从而1xx0时，s(x)s(x0)0，即xx1ln x1成立，故得：x1x22x0.请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的方程为ykx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|OB|2，求k的值解(1)x24xy210.所以曲线C的极坐标方程为24cos 10. (2)设直线l的极坐标方程为1(R，10，)，其中1为直线l的倾斜角，代入曲线C得24cos 110，设A，B所对应的极径分别为1，2.124cos 1，1210，(4cos 1)240，|OA|OB|1|2|12|2，cos 1满足0，1或，l的倾斜角为或， 则ktan 1或 . 23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知a，b均为实数，且|3a4b|10.(1)求a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2对任意的a，bR恒成立，求实数x的取值范围解(1)因为102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以a2b24，当且仅当，即或时取等号，即a2b2的最小值为4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2对任意的a，bR恒成立|x3|x2|4，或，或x3或3xx.所以实数x的取值范围为.- 12 -
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