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规范解答集训(三)概率与统计(建议用时：40分钟)1(2019成都高新区一诊)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施成都2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数155,165)165,175)175,185)185，)得分17181920(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(，2 )，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s2169(各组数据用中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为，求随机变量的分布列和期望附：若随机变量X服从正态分布N(，2 )，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X182)10.841 35，0.841 352 0001 682.71 683(人)，所以可预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683人. 由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，所以B(3,0.5)，P(0)C(10.5)30.125，P(1)C0.5(10.5)20.375，P(2)C0.52(10.5)0.375，P(3)C0.530.125.的分布列为0123P0.1250.3750.3750.125E(X)30.51.5.2某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg)16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)解(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A).现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则 XB.恰好抽到2个礼品果的概率为：P(X2)C.(2)设方案2的单价为，则单价的期望值为：E()1618222420.6.E()20，从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3.则P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).X的分布列如下：X0123PE(X)0123.3(2019北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0，1 000 (1 000，2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由解(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有189330人，仅使用B的学生有1014125人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540人所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)0.4，P(D)0.6.所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24，P(X1) P(CD)P(C)P()P()P(D)0.4(10.6)(10.4)0.60.52，P(X0)P()P()P()0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)00.2410.5220.241.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E).答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化4为“惩戒学术不端，力戒浮躁之风”，教育部拟抽检博士学位论文约6 000篇，预算为800万元根据2014年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0p0，g(p)在单调递增，当p时，g(p)0，g(p)在单调递减，所以g(p)的最大值为g.所以实施此方案，最高费用为1006 000104800(万元)综上，若以此方案实施，不会超过预算- 6 -
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