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考点规范练41双曲线、抛物线一、基础巩固1.(2018浙江,2)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)2.“k0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x4.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-125.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.326.(2018全国,理11)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.27.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上存在一点P,点P与坐标原点O、右焦点F2构成正三角形,则双曲线的离心率为.8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10),点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)求证:MF1MF2=0;(3)求F1MF2的面积.10.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+)B.102,+C.1,102D.1,5213.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两条曲线的一个交点,求cosF1PF2的值.15.(2018全国,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.三、高考预测16.已知抛物线x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1x2.(1)若直线AB的斜率为12,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程;(2)若AP=PB,是否存在异于点P的点Q,使得对任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.考点规范练41双曲线、抛物线1.B解析a2=3,b2=1,c2=a2+b2=3+1=4.c=2.又焦点在x轴上,焦点坐标为(-2,0),(2,0).2.A解析方程x225-k+y2k-9=1表示双曲线,(25-k)(k-9)0,k25,“k1,所以e2=4+23,所以e=4+23=3+1.8.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.9.(1)解e=2,a=b.可设双曲线方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6.双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证明由题意知c=23,不妨设F1(-23,0),F2(23,0),则MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m).MF1MF2=(3+23)(3-23)+m2=-3+m2.点M在双曲线上,9-m2=6,即m2=3,MF1MF2=0.(3)解F1MF2的底边长|F1F2|=43,由(2)知m=3,F1MF2的高h=|m|=3,SF1MF2=12433=6.10.解(1)由题意得直线AB的方程为y=22x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.11.D解析由题意知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).与抛物线方程y2=4x联立,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.12.C解析由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|3|PF2|,所以|PF2|a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a24a2,可得c102a,由e=ca1,可得1b0),双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),则a-m=4,713a=313m,解得a=7,m=3.所以b=6,n=2.所以椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=213,所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=102+42-(213)22104=45.15.解(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.16.解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),则直线AB的方程为y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y=12x,故抛物线在点A处切线的斜率为2.设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圆的方程为(x+1)2+y-1322=1254,即为x2+y2+2x-13x+12=0.(2)存在.依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB,得-x1=x2.若k=0,这时=1,要使QP(QA-QB),点Q必在y轴上.设点Q的坐标是(0,m),从而QP=(0,2-m),QA-QB=(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故QP(QA-QB)=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即y1-y2-m(1-)=0,即x124+x1x2x224-m1+x1x2=0,即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,将代入得m=-2.所以存在点Q(0,-2)使得QP(QA-QB).10
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