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单科标准练(一)(满分：150分时间：120分钟)第卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ux|4x24x10，Bx|x20，则UB()A(，2)B(，2C. D.A由4x24x10，得xR，所以UR.又Bx|x20x|x2，所以UB(，2)故选A.2已知复数z，则|z|()A. B.C. D.Cz，所以|z|，故选C.3已知向量a(1,2)，b(2,3)，ab，则实数()A3 B.C4 D.B由ab得，13(2)(2)，解得，故选B.4已知函数f(x)则f()A. BeC1 D1C由题意可知ff(e)ln e1，故选C.5“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得的范围为(3.141 592 6,3.141 592 7)如果按3.142计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点，那么落在图中阴影部分的概率为(1.732，精确到小数点后两位)()A0.16 B0.17C0.18 D0.19B设圆的半径为r，则圆的面积为r2，正六边形的面积为6rrr2，故所求概率为110.17，故选B.6执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A2 B2C. D1D执行程序框图，n1，af(2)1，n2，af11，n3，af(1)12，n4，af(2)，易知a的取值以3为周期，所以当n8时，a1，当n9时，退出循环输出的a1，故选D.7已知x，y满足则目标函数z2xy的取值范围为()A. B1,4C. D.D作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B(1,2)，作出直线y2x，平移该直线，当直线经过点A时，目标函数取得最小值，zmin2，当直线经过点B(1,2)时，目标函数取得最大值，zmax2(1)24，所以目标函数的取值范围是，故选D.8在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. BC. DA如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EFBD，EGAC，所以FEG为异面直线AC与BD所成的角易知FOAB，因为AB平面BCD，所以FOOG，设AB2a，则EGEFa，FGa，所以FEG60，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.9先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)Asin(x)(A0，|)的图象已知函数g(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的图象的对称轴方程是()Ax4k，kZBx4k，kZCx2k，kZDx2k，kZD法一：设g(x)的最小正周期为T，由题意和题图可知A2，T，2，g(x)2sin(2x)，g(x)的图象过点，2k，kZ，2k，kZ.又|，g(x)2sin.将函数g(x)2sin的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y2sin的图象，再将y2sin的图象向左平移个单位长度，得到f(x)2sin2sin的图象令xk，kZ，则x2k，kZ.函数f(x)的图象的对称轴方程为x2k，kZ.故选D.法二：由题图可知，函数g(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)，将函数g(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移个单位长度后得到f(x)的图象，故f(x)的图象的对称轴方程为x42k，kZ.10设函数f(x)ln x，其中x，若函数f(x)的极小值不大于a，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.B易知函数f(x)的定义域为x|x0，则a0，得0a1.由f(x)0，得x1，当x(a,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的极小值为f(1)1a，由题可知1aa，所以a，又0a1，所以a1，故选B.11已知经过原点O的直线与椭圆1(ab0)相交于M，N两点(M在第二象限)，A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|4，则该椭圆的方程为()A.1 B.1C.1 D.1C法一：由|AF|4得ac4，设M(m，n)，则N(m，n)，又A(a,0)，所以线段AN的中点为P，F(a4,0)因为点M，F，P在一条直线上，所以kMFkFP，即，化简得a6，所以c2，b2622232，故该椭圆的方程为1.法二：如图，取AN的中点P，连接MA，OP，因为O是MN的中点，P是AN的中点，所以OPMA，且|OP|MA|，因此OFPAFM，所以，即，因此c2，从而ac|AF|246，故b2622232，故该椭圆的方程为1.12已知ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a2b2c22accos C，acos C3ccos A0，则角A为()A30 B60C90 D120D由余弦定理c2a2b22abcos C，可得a2b2a2b22abcos C2accos C，可得bc或cos C0.易知cos C0，从而BC.由正弦定理得，sin Acos C3sin Ccos A0，则sin(AC)2sin Ccos A0，从而sin(B)2sin Bcos A0，所以cos A，所以在ABC中，A120，故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)13设函数f(x)(aR，a0)，若f(2 018)2，则f(2 018)_.2易知函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，因为f(x)f(x)，所以函数f(x)是定义域上的奇函数，所以f(2 018)f(2 018)2.14如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_在正方体中作出该几何体的直观图如图所示，不妨将其记为棱台ABCA1B1C1，易知ACBC1，A1C1B1C1CC12.因为CC1平面ABC，CC1平面A1B1C1，ACBC，A1C1B1C1，所以V棱台ABCA1B1C1CC1(SABCSA1B1C1)2.15桌上共有8个球，甲、乙两人轮流取球，取到最后一球者胜利规则：第一次取球至少1个，至多不超过总数的一半，每次取球的个数不超过前面一次取球的个数，且不少于前面一次取球个数的一半如第一次甲取3个球，接着乙取球的个数为2或3.若甲先取球，为了有必胜的把握，第一次取球的个数应为_3若甲取1个球，则乙取1个球，易知最终是乙胜若甲取2个球，则乙可取2个球，然后，甲只能取2个球或1个球，无论如何都是乙胜若甲取3个球，则乙只能取2个球或3个球，当乙取2个球时，接下来甲取1个球，乙取1个球，甲再取1个球，甲胜；当乙取3个球时，甲取完剩下的球，甲胜若甲取4个球，则乙可取完剩下的球，乙胜综上可知，甲第一次取3个球时有必胜的把握16已知直线l：x2y50与定点A(1,2)，动点P到点A距离与到直线l的距离相等，双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点为F，Q是动点P轨迹上的一点，|FQ|的最小值恰为双曲线C的虚半轴长，则双曲线C的离心率为_由题可知点A在直线l上，因而动点P的轨迹为过点A与直线l垂直的直线，则点P的轨迹方程为y22(x1)，即y2x，|FQ|的最小值即点F到直线y2x的距离，由题知|FQ|的最小值恰为b，那么直线y2x为双曲线的一条渐近线，从而2，则e.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知递增数列an的前n项和为Sn，a1，21(a1a2)22(a2a3)2n(anan1)a，nN*.(1)求a2，并证明n2时，anan12n；(2)求S2 019.解(1)令n1，则2(a1a2)a，即a2a20，解得a2或a2，均符合题意由21(a1a2)22(a2a3)2n(anan1)a，得21(a1a2)22(a2a3)2n1(an1an)a，n2.两式相减得2n(anan1)aa，anan10，anan12n，n2.(2)由(1)得S2 019a1(a2a3)(a4a5)(a2 018a2 019)222422 0184.18(本小题满分12分)2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示(1)根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？计算高一年级观看人数的样本方差(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率解(1)设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为，那么20.2，20.9，所以高二年级平均观看人数较多由知20.2，则高一年级观看人数的样本方差s2(20.28)2(20.26)2(20.212)2(20.214)2(20.216)2(20.223)2(20.225)2(20.233)2(20.233)2(20.232)297.16.(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a，b，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C，D，E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，设所求事件为事件A，则事件A包含(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6种不同的结果，由古典概型概率计算公式得，P(A).19(本小题满分12分)如图所示的几何体BACDE中，ABC为等腰直角三角形，ABAC，ABAC2，DC平面ABC，DC1，EA平面ABC，EA.(1)若在EB上存在点F，使得BE平面AFC，试探究点F的位置；(2)在(1)的条件下，求三棱锥FBCD的体积解(1)由ABAC，EA平面ABC，得AC平面EAB，所以ACBE，若BE平面AFC，只需BEAF，在直角ABE中，EB，由射影定理AB2BFBE，可知BFBE，所以点F在BE上靠近E的三等分点处(2)由题可知S四边形AEDC(1)21，则VBAEDCS四边形AEDCAB，由(1)知，F在BE上靠近E的三等分点处，因而VFAEDCVBAEDC，又SABC222，所以VFABCSABCEA2，所以VFBCDVBAEDCVFAEDCVFABC.20(本小题满分12分)已知定点N(6,8)与圆O：x2y24，动点M在圆O上，MN的中点为P.(1)若点P的轨迹为圆C，求圆C的方程；(2)在(1)的条件下，线段OC的垂直平分线上，是否存在点Q，过点Q分别作圆O与圆C的切线(切点分别为A，B)，使得|QA|QB|，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由解(1)由已知，设P(x，y)，则M(2x6,2y8)，因为点M在圆O：x2y24上，所以(2x6)2(2y8)24，从而可得圆C的方程为(x3)2(y4)21.(2)假设存在，设Q(x，y)，若|QA|QB|，则QC21QO24，即QO2QC23，从而x2y2(x3)2(y4)23，整理得，3x4y140，故点Q在直线3x4y140上，而OC的中点坐标为，kOC，因而OC的垂直平分线的方程为y2，整理得，6x8y250，易知直线3x4y140与直线6x8y250平行，因此不存在满足题意的点Q.21(本小题满分12分)已知函数f(x)exax2b(a0)，函数f(x)的图象在x0处的切线方程为yx1.(1)当a1时，求函数f(x)在0,2上的最小值与最大值；(2)若函数f(x)有两个零点，求a的值解(1)由题可知f(0)1b，f(x)exax，f(0)1，则函数f(x)的图象在x0处的切线方程为y1bx，即yx1b，由已知条件可得b0，当a1时，在0,2上，f(x)exx0，函数f(x)在0,2上单调递增，从而函数f(x)在0,2上的最小值为f(0)1，最大值为f(2)e22.(2)法一：由(1)知f(x)exax2，设g(x)f(x)exax，则g(x)exa，令g(x)0，可得xln a，当x(，ln a)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(ln a，)时，g(x)0，g(x)单调递增因而g(x)的最小值为g(ln a)aaln a，若aaln a0，则f(x)0，f(x)单调递增，f(x)不会有两个零点，不合题意，因而aaln a0，即ae.因为g(0)10，g(1)ea0，所以f(x)0在(0,1)内有解，即存在x1(0,1)使f(x1)0，同时存在x2(1，)，使得f(x2)0，即0x11x2，ex1ax1，ex2ax2，当x(，x1)时f(x)单调递增，当x(x1，x2)时f(x)单调递减，当x(x2，)时f(x)单调递增，f(x)的大致图象如图所示由于f(x1)ex1axax1axax1(2x1)0，所以，若函数f(x)有两个零点，则函数f(x)的极小值f(x2)0，f(x2)ex2axax2axax2(2x2)0，得x22.由ex2ax0，即e2a220，得a.法二：由(1)知，b0，则函数f(x)exax2，显然x0不是零点，令f(x)0，分离参数，则a，设h(x)(x0)，则h(x)，令h(x)0，则x2.易知当x(0,2)时h(x)单调递减，当x(，0)及x(2，)时h(x)单调递增，则h(x)的极小值为h(2)，而当x(，0)时，h(x)0，数形结合可知，当a时函数f(x)有两个零点请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin.(1)写出曲线C的普通方程以及直线l的直线坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，求OAB的面积解(1)消去参数，得曲线C的普通方程为1，2sin可化为cos sin ，由极坐标与直角坐标的互化公式得，直线l的直角坐标方程为xy0.(2)易知原点O到直线l的距离d，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由整理得，5x28x0，解得x0或，不妨令x10，x2，从而得A(0，)，B，由两点间距离公式得|AB|，所以SOAB|AB|d.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若存在实数m，使得f(x)fm有解，求m的取值范围解(1)由已知得，f(x)|x|1，即|2x1|x|1，所以当x0时，12xx1，得x0，此时无解；当0x时，12xx1，得x0，此时0x；当x时，2x1x1，得x2，此时x2.从而不等式的解集为x|0x2(2)设g(x)f(x)f，则g(x)|2x1|x1|作出函数g(x)的大致图象(图略)，数形结合可知，g(x)的最小值为，从而m.所以m的取值范围是.- 12 -
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