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24分大题抢分练(一)(建议用时：30分钟)20(12分)如图所示，椭圆C：1(ab0)的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1，NB2MB2.(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形MB2NB1面积的最大值解(1)e，ac，又2b6，且a2b2c2，a218，b29，因此椭圆C的方程为1.(2)法一：设M(x0，y0)(x00)，N(x1，y1)，MB1NB1，MB2NB2，直线NB1：y3x，直线NB2：y3x，由解得x，即x1，又1，x1，四边形MB2NB1的面积S|B1B2|(|x1|x0|)3|x0|.0x18，当x18时，S取得最大值.法二：设直线MB1：ykx3(k0)，则直线NB1：yx3，直线MB1与椭圆C：1的交点M的坐标为，则直线MB2的斜率为kMB2，直线NB2：y2kx3，由解得N点的横坐标为xN，四边形MB2NB1的面积S|B1B2|(|xM|xN|)3，当且仅当|k|时，S取得最大值.21(12分)(2019济南模拟)已知函数f(x)(x1)2xln x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1ae，试判断f(x)的零点个数解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，当a1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数若0a1，则1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是减函数，当x时，f(x)0，f(x)是增函数若a1，则01，当x时，f(x)0，f(x)是增函数，当x时，f(x)0，f(x)是减函数，当x(1，)时，f(x)0，f(x)是增函数综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增函数；当0a1时，f(x)在(0,1)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；当a1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数(6分)(2)当1ae时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)10，f(x)的极大值为f2lnln a1.设g(a)ln a1，其中a(1，e)，则g(a)0，所以g(a)在(1，e)上是增函数，所以g(a)g(e)20.因为f(4)(41)24ln 494ln 4ln 40，所以存在x0(1,4)，使f(x0)0，所以当1ae时，f(x)有且只有一个零点- 3 -
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