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-1-第第 4 4 讲讲 随机变量及其分布列随机变量及其分布列课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角1某小组共 10 人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解：(1)由已知，有P(A)C13C14C23C21013.所以事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)C23C23C24C210415，P(X1)C13C13C13C14C210715，P(X2)C13C14C210415.所以随机变量X的分布列为X012P415715415随机变量X的数学期望E(X)0415171524151.2某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路统计表明：汽车走公路堵车的概率为110，不堵车的概率为910；走公路堵车的概率为35，不堵车的概率为25，若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他原因走公路运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率解：记“汽车甲走公路堵车”为事件A，“汽车乙走公路堵车”为事件B，“汽车丙走公路堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为-2-P1P(AB)P(AB)110910910110950.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)1101102511091035910110351101103559500.3已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人(2)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.所以P(X0)C33C37135，P(X1)C14C23C371235，P(X2)C24C13C371835，P(X3)C34C37435，所以随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)013511235218353435127.设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则ABC，且B与C互斥由知P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1)67.所以事件A发生的概率为67.-3-4某排球比赛采用五局三胜制，现按照以下规则进行积分：在比赛中以大比分 30 或者 31 获胜的球队积 3 分，失败的球队积 0 分；在比赛中以 32 获胜的球队积 2 分，失败的球队积 1 分在甲队对乙队的比赛中，每局甲队获胜的概率都为23；在甲队对丙队的比赛中，每局甲队获胜的概率都为12.(1)求甲队经过两轮比赛后积 6 分的概率；(2)已知甲队对丙队的比赛中甲队积 2 分，求甲队经过两轮比赛后积分Y的分布列和数学期望解：(1)记“甲队经过两轮比赛后积 6 分”为事件A，“甲队以大比分 30 或 31 胜乙队”为事件B，“甲队以大比分 30 或 31 胜丙队”为事件C.P(B)C33233C23232123 238278271627，P(C)C33123C23122112 12516.故P(A)P(B)P(C)1627516527.(2)记甲队对乙队的比赛中甲队的积分为X，则YX2.由(1)知P(X3)P(B)1627；P(X2)C242321232231681；P(X1)C241232232123 881；P(X0)C032301233C132311232123 19.所以X的分布列为X3210P1627168188119故积分X的数学期望为E(X)3162721681188101918481.由YX2，可得E(Y)E(X)218481234681.5某高校通过自主招生方式在江苏招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙-4-两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽 3 个问题已知这 6 个问题中，学生甲能正确回答其中的 4 个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度来分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解：(1)由题意可得，所求概率为PC14C22C36C1323132C24C12C36C03230133115.(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为 1,2,3.P(X1)C14C22C3615，P(X2)C24C12C3635，P(X3)C34C02C3615，E(X)1152353152，D(X)(12)215(22)235(32)21525.设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为 0,1,2,3.由题意可知YB3，23，所以E(Y)3232，D(Y)3231323.因为E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以甲被录取的可能性更大-5-
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