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第17讲 函数的零点问题A级高考保分练1已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_解析：当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.答案：02(2019南通一中模拟)已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：3已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和为_解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：04若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是_解析：由x2ax10得ax，其中x.函数yx在上为减函数，在(1,3)上为增函数，ymin2，ymax，a.答案：5函数f(x)exx2的零点有_个解析：f(x)在R上单调递增，又f(0)120，函数f(x)有且只有1个零点答案：16(2019常州一中检测)已知函数f(x)log4x的零点为x0，若x0(k，k1)，其中k为整数，则k的值为_解析：因为f(2)1log420，f(3)log43log40，且函数f(x)在(0，)上单调递减，所以k2.答案：27(2019连云港调研)已知函数f(x)xb有一个零点，则实数b的取值范围为_解析：由已知，函数f(x)xb有一个零点，即函数yxb和y的图象有1个交点，如图，其中与半圆相切的直线方程为yx2，过点(0，)的直线方程为yx，所以满足条件的b的取值范围是b2或0，得函数f(x)的单调递增区间为(2,0)，由f(x)0，得函数f(x)的单调递减区间为(，2)，且易知x1时，f(x)0，f(0)1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象如图所示要使函数g(x)f(x)b有三个零点，即f(x)b有三个不同的实数根，也就是函数yf(x)的图象与直线yb有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0,1答案： (0,111已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)x22x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故实数a的取值范围为(1,1)12已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解：(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.B级难点突破练1已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是_解析：当0x1时，f(x)aa，当1x2时，f(x)aa，当2x0，所以问题等价于在x1，)有解令p2x，则p2，令up，则u在p2，)上单调递增，因此u，.设r(u)u，则r(u)1，令r(u)0，得u2，故r(u)在上单调递减，在2，)上单调递增所以函数r(u)在u2时取得最小值，且最小值r(2)4, 所以r(u)4，)，从而满足条件的实数的取值范围是4，)- 6 -
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