0.1.6函数的连续性与间断点

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版课题0.1.6函数的连续性与间断点（2学时）时间 年 月 日教学目的要求1、 理解和掌握连续函数的概念、性质。2、 理解和掌握闭区间上连续函数的性质。3、 会求函数的间断点并判断其类型。重点判断函数的连续性。难点会求函数的间断点。教学方法手段讲授为主，数形结合。主要内容时间分配一、 函数的连续性 15分钟1、 函数的增量2、 连续的定义3、 左连续和右连续4、连续函数和连续区间二、函数的间断点 30分钟1、函数的间断点2、间断点的分类：三、连续函数的性质与初等函数的连续性 25分钟1、四则运算的连续性2、复合函数的连续性3、初等函数的连续性四、 闭区间上连续函数的性质 20分钟作业备注70.1.6函数的连续性与间断点一、函数的连续性1 函数的增量设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差称作变量的增量（改变量），记作，即 。注：（1）是一个完整的记号，不能看作是符号与变量的乘积。（2）增量可以是正的，可以是负的，也可以是零。（3）对函数，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。2、连续的定义 定义1设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，即那么就称函数在点连续，称为的连续点。定义2设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续，称为的连续点。3、左连续和右连续如果函数在点的某一邻域内有定义，且有或，则称函数在点处左连续或右连续。定理 函数在点处连续函数在点处左、右连续。小结：函数在点处连续要同时满足以下三个条件：（1）函数在点处有定义（2）函数的极限存在（3）“连续”和“极限”的区别： 极限在处可以没有定义连续在处必须有定义时，极限 连续【例1】 证明函数在处连续。证明 且所以存在，且，即在处连续。4、连续函数和连续区间若函数在开区间内的每一点都连续，则称函数在开区间内连续。若函数在开区间内连续，在处右连续且在处左连续，则称函数在闭区间上连续。注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。二、函数的间断点1、函数的间断点设函数在点的空心邻域内有定义。如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）在有定义，但不存在；（3）在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。2、间断点的分类：若点为函数的间断点，且和都存在，则称为函数的第一类间断点。例 讨论函数在处的连续性。解 右连续但不左连续故函数在处不连续（1）跳跃间断点（左右极限不相等） 在间断，左极限为2，右极限为1。（2）可去间断点（左右极限相等）在间断，极限为2。注：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，则可使其变为连续点。不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点。（即左右极限至少有一个不存在）（3）无穷间断点 在 间断 （4）振荡间断点在间断，极限不存在。注：函数的间断点有时是多个。三、连续函数的性质与初等函数的连续性1、四则运算的连续性定理 若函数和在点处均连续，则、（）在点处也连续。2、复合函数的连续性设函数在点连续，函数在点连续，且，则复合函数在点连续。意义：这个定理说明了连续函数的复合函数仍是连续函数。则。这表示对连续函数来说，极限符号与函数符号可以交换次序。【例2】求函数的连续区间。解 定义域为 连续区间为【例3】求解 【例4】求解 例 讨论函数的间断点。解 ，在处无定义因此，是可去间断点因此，是无穷间断点因此，是可去间断点3、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。注：（1）定义区间是指包含在定义域内的区间。（2）初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续。【例5】定义域在的邻域内无定义，不连续在上连续例如定义域这些孤立的点的领域内没有定义五、 闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理） 闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值。注：若区间是开区间或有间断点，定理不一定成立。【例6】在上有【例7】在上有点断点所以在上既无最大值又无最小值。定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。定理3（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号（即）,那么在开区间内至少存在一点，使得。或方程在内至少存在一个实根。几何意义：连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧，则曲线弧与轴至少有一个交点。定理4（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。几何意义：连续曲线弧与水平曲线至少有一个交点。推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。【例8】证明方程在内至少有一个实根。证明 设，则在上连续，且由零点定理可知，至少存在一点，使得这说明方程在内至少有一个实根。