2020年高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数（含解析）

专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 基础知识融会贯通 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 【知识拓展】 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 重点难点突破 【题型一】角及其表示 【典型例题】 已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，表示第一象限的角， 故选：B． 【再练一题】 直角坐标系内，β终边过点P（sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（　　） A．2+2πk，k∈Z B．2+kπ，k∈Z C．2+2kπ，k∈z D．﹣2+2kπ，k∈Z 【解答】解：∵β终边过点P（sin2，cos2），即为（cos（2），sin（2）） ∴终边与β重合的角可表示成2+2kπ，k∈Z， 故选：A． 思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角． (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（　　） A．1 B．4 C．1或 4 D．1或 2 【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm， 则，解得α＝1或α＝4． 故选：C． 【再练一题】 将300°化成弧度得：300°＝　　rad． 【解答】解：∵180°＝π， ∴1°， 则300°＝300． 故答案为：． 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【题型三】三角函数的概念及应用 命题点1　三角函数定义的应用 【典型例题】 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且， 则x＝﹣1， 故选：D． 【再练一题】 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r， ∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0， ∴解得：cos2α，或（舍去）， ∴cosα． 故选：A． 命题点2　三角函数线的应用 【典型例题】 已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图： 则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα， 则sinα＞0，AT＜OM＜0， 即sinα＞cosα＞tanα， 则a＞b＞c， 故选：A． 【再练一题】 已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【解答】解：因为，所以cossin，tan1， 所以b＜a＜c． 故选：A． 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围． 基础知识训练 1．【湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由任意角的三角函数定义可知： 本题正确选项： 2．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上， 当角终边在第一象限时， 当角终边在第二象限时， 当角终边在第三象限时， 当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C. 3．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角的终边上一点的坐标为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：角α的终边上一点的坐标为， 它到原点的距离为r=1， 由任意角的三角函数定义知：， 故选：B． 4．【甘肃省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（　　） A．（，）∪（，） B．（0，）∪（，） C．（，）∪（，2π） D．（，）∪（π，） 【答案】C 【解析】 ∵点P（sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴， 由sinα+cosαsin（α）， 得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z， 即2kπα＜2kππ，k∈Z． 由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z． ∴α∈（，）∪（，2π）． 故选：C． 5．【安徽省示范高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角是第四象限角，则是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】 角是第四象限角. ，则 故是第三象限角.故选C. 6．【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由于且，故为第二象限角，故，故D选项一定成立，故本小题选D. 7．【宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm，中心角为150°的角所对的弧长为（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意，半径，中心角，又由弧长公式， 故选：D． 8．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 与角终边相同的角为：， 当时，． 故选：C． 9．【安徽省淮北师范大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（ ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 【答案】A 【解析】 解：钝角的范围为，钝角是第二象限角，故A正确； ﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误； 由钝角的范围可知C错误； -180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误． 故选：A． 10．直角坐标系内，角的终边过点，则终边与角重合的角可表示成（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为点为第四象限内的点，角的终边过点， 所以为第四象限角， 所以终边与角重合的角也是第四象限角， 而，均为第三象限角，为第二象限角， 所以BCD排除， 故选A 11．【江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则与的终边相同； ⑤若，则是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①，则为第二象限角；，则为第一象限角，此时，可知①错误； ②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若，，此时，但终边不同，可知④错误； ⑤当时，，此时不属于象限角，可知⑤错误． 本题正确结果：③ 12．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与角终边相同的最小正角是______ 【答案】 【解析】 解：， 即与角终边相同的最小正角是， 故答案为：． 13．【河南省平顶山市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从到，分针转了________（）． 【答案】 【解析】 从到，过了45分钟，时针走一圈是60分钟， 故 分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了. 14．【2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试】已知角的始边是轴非负半轴．其终边经过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 解：∵点P（1，2）在角α的终边上，∴， 将原式分子分母除以，则原式 故答案为：5． 16．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】 由题e-3i＝cos3-isin3，又cos3<0, sin3>0,故表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三 17．【甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角． （2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】 （1）设扇形的圆心角大小为，半径为， 则由题意可得：． 联立解得：扇形的圆心角． （2）设扇形的半径和弧长分别为和, 由题意可得， ∴扇形的面积． 当时S取最大值，此时， 此时圆心角为， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 18．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里． 求海域ABCD的面积； 现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．. 【解析】 ，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD， ， ， 平方海里， 由题意建立平面直角坐标系，如图所示； 由题意知，点P在圆B上，即， 点P也在圆A上，即； 由组成方程组， 解得； 又区域ABCD内的点满足， 由， 不在区域ABCD内， 由， 也不在区域ABCD内； 即这艘不明船只没进入了海域ABCD． 19．已知角β的终边在直线x－y＝0上. ①写出角β的集合S； ②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素. 【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°. 【解析】 ①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为： S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}. ②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z， 解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3. 所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°. 20．已知，如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2) {α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 【解析】 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}. (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}. 能力提升训练 1．【安徽省芜湖市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点， ∴A（cos，sin），即A（），且cos（α），sin（α）． 则sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin， 故选：D． 2．【黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在中，若，那么是 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【解析】 ∵在中，， ∴， ∴为锐角． 又， ∴， ∴， ∴为锐角， ∴为锐角三角形． 故选A． 3．【河北省邯郸市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（ ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【解析】 由，得异号， 则角是第二或第三象限角， 故选:. 4．【河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，则tanα=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意，角的终边经过点，且，则， ∴，所以， 故选：C． 5．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】已知角的终边经过点，则的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】C 【解析】 ∵已知角的终边经过点，∴，则，故选：C． 6．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意，，且， 则. 故选：C． 7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________． 【答案】 【解析】 ， ∵，且点在第一象限， ∴为锐角， ∴的值是， 故答案为： 8．【安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______． 【答案】或， 【解析】 因为 所以 等价于或 所以或， 故答案为：或，． 9．【四川省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】 【解析】 ∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（5，-12）， ∴sinα= 则sinα+cosα=-， 故答案为：-． 10．对于任意实数，事件“”的概率为_______． 【答案】 【解析】 由于“”，故为第二象限角，故概率为. 20