2020高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 3 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系练习 理（含解析）

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础题组练1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A4个 B3个C2个 D1个解析：选A.首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件3已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错4如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上所以A，M，O三点共线5(2019成都第一次诊断性检测)在各棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为()A. B1C. D.解析：选C.法一：如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1MPB，则PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故选C.法二：以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则N(0，0，0)，A1(0，1，2)，B(，0，0)，M(，0，1)，所以(，0，0)，(，1，1)，设直线A1M与BN所成的角为，则cos |cos，|，则sin ，tan .6如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H四点共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：7一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC；BD与GC成异面直线且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的是_(填序号)解析：将平面展开图还原成正方体(如图所示)对于，由图形知AF与GC异面垂直，故正确；对于，BD与GC显然成异面直线如图，连接EB，ED，则BMGC，所以MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)在等边BDM中，MBD60，所以异面直线BD与GC所成的角为60，故正确；对于，BD与MN为异面垂直，故错误；对于，由题意得，GD平面ABCD，所以GBD是BG与平面ABCD所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45，故错误综上可得正确答案：8已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1.答案：9在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.10.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.综合题组练1(应用型)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则PE()A. B.C. D.解析：选D.过点C1作C1GB1F，交直线CD于点G，过点E作HQC1G，交CD延长线，C1D1于点H，Q，连接B1Q，HF交AD于点P，HQB1F，所以Q，H，F，B1四点共面，易求得HDD1Q，由PDHPAF可得2，则PD，在RtPED中，PE，故选D.2(2019宁波模拟)如图，在直二面角ABDC中，ABD，CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将ABE沿BE翻折到A1BE，在ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是()ABC与平面A1BE内某直线平行BCD平面A1BECBC与平面A1BE内某直线垂直DBCA1B解析：选D.连接CE，当平面A1BE与平面BCE重合时，BC平面A1BE，所以平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线，故A，C可能成立；在平面BCD内过B作CD的平行线BF，使得BFCD，连接EF，则当平面A1BE与平面BEF重合时，BF平面A1BE，故平面A1BE内存在与BF平行的直线，即平面A1BE内存在与CD平行的直线，所以CD平面A1BE，故C可能成立若BCA1B，又A1BA1E，则A1B为直线A1E和BC的公垂线，所以A1BCE，设A1B1，则经计算可得CE，与A1BCE矛盾，故D不可能成立故选D.3(2019济南模拟)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE平面ABEF，则异面直线BD与CF所成角的余弦值为_解析：如图，连接DE交FC于O，取BE的中点G，连接OG，CG，则OGBD且OGBD，所以COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角设正方形ABCD的边长为2，则CEBE1，CFDE，所以COCF.易得BE平面CDFE，所以BEDE，所以BD，所以OGBD.易知CE平面ABEF，所以CEBE，又GEBE，所以CG.在COG中，由余弦定理得，cosCOG，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.答案：4(创新型)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是_(填序号)BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.解析：取DC的中点F，连接MF，BF，则MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得正确；由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正确；若存在某个位置，使DEA1C，则因为DE2CE2CD2，即CEDE，因为A1CCEC，则DE平面A1CE，所以DEA1E，与DA1A1E矛盾，故不正确答案：5(创新型)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是_解析：连接DN，则MDN为直角三角形，在RtMDN中，MN2，P为MN的中点，连接DP，则DP1，所以点P在以D为球心，半径R1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S4R2.答案：6(应用型)如图所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解：如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，因为在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EFCD.所以BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角在RtEAB中，ABAC1，AEAD，所以BE.在RtEAF中，AFAC，AE，所以EF.在RtBAF中，AB1，AF，所以BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.- 8 -