7.3 二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题ppt课件

柯桥中学高三数学组 何利民,第七编 不等式,7.4 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题,在平面直角坐标系中，不等式 Ax + By + C 0 表示在直线：Ax+By+C = 0的某一侧的平面区域,1.二元一次不等式表示平面区域,(1)结论：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,(2)判断方法：由于对直线同一侧的所有点 (x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,一般在C0时，取原点作为特殊点。,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，否则应画成实线。 2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,2.简单的线性规划,有关概念 由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数。关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,基础自测 1.下列各点中,不在x+y-10表示的平面区域的 是 （ ） A.（0，0） B.（-1，1） C.（-1，3） D.（2，-3）,C,2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ） A.m10 B.m=-5或m=10 C.-5m10 D.-5m10,C,3.设A=（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长， 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 （ ）,A,4.（2009安徽文，3）不等式组 所表 示的平面区域的面积等于 （ ） A. B. C. D. 解析 不等式组表示的平面区域如图所示，,C,5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木 工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元， 现有工人工资预算2 000元,设木工x人，瓦工y人， 请工人的约束条件是_.,题型一 二元一次不等式（组）表示的平面区域 【例1】画出不等式组 表示的平面区 域,并回答下列问题: (1)指出x,y的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?,题型分类 深度剖析,x+y=0,x-y+5=0,x=3,3,(3,8),(3,-3),5,-5,(2)平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42个.,知能迁移1 如图ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出ABC区域 所表示的二元一次不等式组.,题型二 求目标函数的最值问题 【例2】,解下列线性规划问题：求 z = 2x + y的最大 值和最小值，使式中的x、y 满足约束条件:,【点评】正确作出不等式组所表示的平面区域(可行域)，再由线性目标函数作出一组平行线考察最值，是解线性规划问题的基本步骤,l0:2x+y=0,当x=1,y=1时，z取最小值,zmin=3,当x=5,y=2时，z取最大值,zmax=12,变式1:求z=2x-y(x,y均为整数) 的最大值与最小值,变式2:求z=(x+1)2+(y-3)2 的最大值与最小值,知能迁移2 （2009浙江理,13）若实数x,y满足不 等式组 则z=2x+3y的最小值是_.,4,知能迁移3 在如图所示的坐标平面的可行域内 （阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取 得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是 ( ) A. B. C. D.,B,在约束条件 下，当 3s5 时， 目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是(A) 6,15(B) 7,15(C) 6,8 (D) 7,8,06广东高考,D,B(4-s,2s-4),C(0,s),06重庆高考 已知变量x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为 。,题型三 线性规划的简单应用 【例3】某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物 8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、 丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨 货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到 商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、 5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库 运货物到三个商店的总运费最少？ 由于题目中量比较多，所以最好通过列 出表格以便清晰地展现题目中的条件. 设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商 店的货物吨数，列出可行域，即可求解.,思维启迪,解 将已知数据列成下表： 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨， 则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y）吨,从而仓库 B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y) 吨、5-(12-x-y)=(x+y-7)吨,于是总运费为 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7) =x-2y+126.,商店,仓库,每 吨 运 费,线性约束条件为 目标函数为z=x-2y+126. 作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中 阴影部分所示.,作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移 动到过点(0,8)时,在可行域内，z=x-2y+126取得最小 值zmin=0-28+126=110,即x=0,y=8时总运费最少. 安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货 物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店 的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓 库运货物到三个商店的总运费最少. 解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分 析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函 数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.,探究提高,知能迁移3 （2009四川，10）某企业生产甲、乙 两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原 料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可 获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原 料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获 得的最大利润是 （ ） A.12万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元,解析 设生产甲产品x吨、乙产品y吨， 则获得的利润为z=5x+3y. 由题意得 可行域如图阴影所示. 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值， 此时x=3，y=4,z=53+34=27(万元). 答案 D,题型四 线性规划的综合应用 【例4】（12分）实数x,y满足 （1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值 范围； （2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值 范围. (1) 表示的是区域内的点与原点 连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的 最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域 内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.,思维启迪,解 作出可行域如 图阴影部分所示. 表示可行域内任一点与 坐标原点连线的斜率， 4分 因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (OA斜率不存在）. zmax不存在，zmin=2, z的取值范围是2，+）. 7分,解题示范,(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两 点间距离的平方. 9分 因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为 |OB|2. 由 得A(0，1)， |OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5. zmax=5，z无最小值. 故z的取值范围是（1，5. 12分,探究提高 本例与常规线性规划不同，主要是目标函 数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意 义，常见代数式的几何意义主要有以下几点： (1) 表示点（x,y）与原点（0，0）的距离; 表示点（x,y）与（a,b）的距离. (2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率; 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. 理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.,1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平 面的对应性.对于A0的直线l：Ax+By+C=0，Ax+By+ C0对应直线l右侧的平面；Ax+By+C0对应直线l左 侧的平面. 由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四 边形、多边形以及扇形域和带状域等.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.转化：求二元一次函数z=ax+by (ab0)的最值,将 函数z=ax+by转化为直线的斜截式： 通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值. 3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整 数最优解的直线距实数最优解最近. 4.线性规划应用题建模的思路：一般以“资源产 品收益”为主线;设元时将产品数量设为x、y, 将收益多少设为z，资源数量为常数a、b、c等.这样 z与x、y之间的关系就是目标函数;而x、y与a、b、c 等之间的关系就是约束条件.,1.二元一次不等式与半平面的对应关系，比如： 二元一次不等式Ax+By+C0,当A0时表示直线l:Ax+ By+C=0右侧的平面；当A0时，截距 取最大值时，z也取 最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b0 时，截距 取最大值时，z取最小值；截距 取最 小值时，z取最大值.,失误与防范,一、选择题 1.（2009福建文，9）在平面直角坐标系中,若不等 式组 (a为常数)所表示的平面区域的 面积等于2，则a的值为 （ ） A.-5 B.1 C.2 D.3,定时检测,解析 由 得A(1，a+1), 由 得B(1，0)， 由 得C(0，1). ABC的面积为2，且a-1, SABC= |a+1|=2,a=3. 答案 D,2.(2009安徽理,7)若不等式组 所表示 的平面区域被直线 分为面积相等的两部 分，则k的值是 ( ),解析 不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y=kx+ 过定点 因此只有直线过AB中点时, 直线y=kx+ 能平分平面区域. 因为A(1,1),B(0,4), 所以AB中点 答案 A,3.若实数x,y满足条件 目标函数z=2x-y, 则 （ ） A.zmax= B.zmax=-1 C.zmax=2 D.zmin=0 解析 如图所示，当z=2x-y过 时,C,4.已知点P（x,y）满足 点Q(x,y)在 圆(x+2)2+(y+2)2=1上,则|PQ|的最大值与最小值为 （ ） A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2 解析 可行域如图阴影部分, 设|PQ|=d，则由图中圆心 C(-2,-2)到直线4x+3y-1=0的 距离最小,则到点A距离最大. 得A（-2，3）. dmax=|CA|+1=5+1=6，,B,5.（2009湖北理，8）在“家电下乡”活动中，某 厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货 车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用 300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则 该厂所花的最少运输费用为 （ ） A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元,解析 设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知 作出其可行域如图所示， 可知目标函数z=400 x+300y在点A处取最小值， zmin=4004+3002=2 200(元). 答案 B,6.(2008海南、宁夏文,10)点P(x,y)在直线4x+3y=0 上,且x,y满足-14x-y7,则点P到坐标原点的距离 的取值范围是 （ ） A.0,5 B.0,10 C.5,10 D.5,15 解析 如图所示，可知直线 4x+3y=0分别与直线x-y=-14,x-y=7 的交点为P1(-6,8)，P2(3，-4)， 易知|OP1|=10,|OP2|=5. 故|OP|的取值范围为0，10.,B,二、填空题 7.（2009陕西文，14）设x,y满足约束条件 则z=x+2y的最小值是_,最大值是_. 解析 如图所示，由题意得A（3，4）.由图可以看 出，直线x+2y=z过点（1，0）时，zmin=1,过点(3,4) 时,zmax=3+24=11.,1,11,8.（2009山东文,16）某公司租赁甲、乙两种设备 生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5 件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件 和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 _元.,解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台， 目标函数为z=200 x+300y. 作出其可行域，易知当x=4,y=5时，z=200 x+300y有最 小值2 300元. 答案 2 300,9.已知实数x,y满足不等式组 目标函数 z=y-ax(aR).若取最大值时的唯一最优解是(1,3), 则实数a的取值范围是_. 解析 如图所示，依题意直 线x+y-4=0与x-y+2=0交于 A(1,3),此时取最大值， 故a1.,(1,+),三、解答题 10.若a0,b0,且当 时，恒有ax+by1, 求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积. 解 作出线性约束条件 对应的可行域如图所示，,在此条件下，要使ax+by1恒成立,只要ax+by的最大 值不超过1即可. 令z=ax+by,则 因为a0,b0, 此时对应的可行域如图， 所以以a,b为坐标的点P（a,b）所形成的面积为1.,11.A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨, 而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每 千吨的运价如下表.怎样确定调运方案,使总的运费 为最小？ 解 设从A到D运x千吨,则从B到D运(8-x)千吨; 从A到E运y千吨,则从B到E运(6-y)千吨; 从A到F运(12-x-y)千吨,从B到F运(x+y-6)千吨,则线性约束条件为 线性目标函数为z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+ 4(x+y-6)=-3x+y+100, 作出可行域，可观察出目标函数在(8，0)点取到最小 值，即从A到D运8千吨，从B到E运6千吨，从A到F运 4千吨，从B到F运2千吨，可使总的运费最少.,12.在R上可导的函数 当 x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取得极小值, 求点(a,b)对应的区域的面积以及 的取值范围. 解 函数f(x)的导数为f(x)=x2+ax+2b,当x(0,1) 时,f(x)取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值, 则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内, 另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f(x)=x2+ax+ 2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可 以得到,在aOb平面内作出满足约束条件的 点(a,b)对应的区域为ABD(不包 括边界),如图阴影部分,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), ABD的面积为 (h为点A到a轴的距离). 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,返回,