2020版高考数学新设计大一轮复习 第三章 导数及其表示 第3节 定积分与微积分基本定理习题 理（含解析）新人教A版

第3节定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数).(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).微点提醒函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)曲线yx2与yx所围成的面积是(x2x)dx.()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)，xa，xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(4)定积分f(x)dx一定等于由xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积.()(5)加速度对时间的积分是路程.()解析(2)yx2与yx所围成的面积是(xx2)dx.(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)，xa，xb以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大.(4)定积分f(x)dx等于由xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(选修22P50A5改编)定积分|x|dx()A.1 B.2 C.3 D.4解析|x|dx(x)dxxdx2xdxx21.答案A3.(选修22P60A6改编)已知质点的速度v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是()A.10t B.5t C.t D.t解析Svdt5t.答案B4.(2018青岛月考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积S，正确的是()A.S(4xx3)dx B.S(x34x)dxC.Sdy D.Sdy解析两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x积分时，积分上限是2、下限是0，由于在0，2上，4xx3，故直线y4x与曲线yx3所围成的封闭图形的面积S(4xx3)dx.答案A5.(2019安阳模拟)若ax2dx，bx3dx，csin xdx，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.abcC.cba D.cab解析由微积分基本定理ax2dx，bx3dx4，csin xdx(cos x)1cos 22，则ca0)所围成的曲边图形的面积为，则k_.解析(1)由定积分的几何意义知， dx表示圆(x1)2y24和x1，x3，y0围成的图形的面积， dx4.(2)由得或则曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，则k38，k2.答案(1)(2)2考点三定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A.3 B.4 C.5 D.6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_ J(x的单位：m，力的单位：N).解析(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt.所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得t5.(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx342(J).答案(1)C(2)342规律方法定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的位移sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.【训练3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5 B.825ln C.425ln 5 D.450ln 2解析令v(t)0，得t4或t(舍去)，汽车行驶距离sdt282425ln 5425ln 5(m).答案C思维升华1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f(x)在闭区间a，b上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方、也可以在x轴下方、还可以在x轴的上下两侧，所以f(x)dx表示由x轴、函数f(x)的曲线及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和；而|f(x)|是非负的，所以|f(x)|dx表示在区间a，b上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积；而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的.易错防范1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019西安调研)定积分(2xex)dx的值为()A.e2 B.e1C.e D.e1解析(2xex)dx(x2ex)1e11e.答案C2.已知dx，则m的值为()A. B. C. D.1解析由微积分基本定理得dx(ln xmx)m1me，结合题意得m1me，解得m.答案B3.(2019郑州模拟)汽车以v(3t2) m/s做变速运动时，在第1 s至第2 s之间的1 s内经过的路程是()A. m B.6 m C. m D.7 m解析s(3t2)dt4410(m).答案A4.sin2dx等于()A.0 B.C. D.1解析sin2dxdx.答案B5.定积分|x1|dx等于()A.1 B.1 C.0 D.2解析|x1|dx|x1|dx|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.答案A6.如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A. B.8C. D.9解析设指数函数为yax(a0且a1)，因为其过点E(2，9)，所以a29，解得a3，所以图中阴影部分的面积S3xdx.答案A7.若f(x)ff(1)1，则a的值为()A.1 B.2 C.1 D.2解析因为f(1)lg 10，f(0)3t2dtt3a3，所以由ff(1)1，得a31，a1.答案A8.由yx2，y，y1所围成的图形的面积为()A. B. C.2 D.1解析如图所示，阴影部分的面积为S222.答案A二、填空题9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则f(x)dx_.解析原式f(x)dxf(x)dx，因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8216.答案1610.如图所示，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_.解析由解得x10，x22.S(x22x11)dx(x22x)dx4.答案11.(2019济南模拟)设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析封闭图形如图所示，则dxxa0a2，解得a.答案12.(2019广州调研)设f(x)则f(x)dx的值为_.解析f(x)dxdx(x21)dx12.答案能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(一题多解)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S1S2S3 B.S2S1S3C.S2S3S1 D.S3S2S1解析法一S1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S1S3.法二S1，S2，S3分别表示曲线yx2，y，yex与直线x1，x2及x轴围成的图形的面积，通过作图易知S2S1S3.答案B14.若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A.1 B. C. D.1解析由题意知f(x)x22f(x)dx，设mf(x)dx，则f(x)x22m，f(x)dx(x22m)dx2mm，解得m.答案B15.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_ J.解析由题意知，力F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx521036(J).答案3616.(2019长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线yx与直线x1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥x2dxx3.据此类比：将曲线y2 ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V_.解析类比已知结论，将曲线y2ln x与直线y1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为(e)2ey，积分变量为y，积分区间为0，1，即Veydyey(e1).答案(e1)12