资源描述
专题06函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.基础知识融会贯通1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【知识拓展】1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)重点难点突破【题型一】判断函数的奇偶性【典型例题】下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）Af（x）x|x|Bf（x）x3Cf（x）Df（x）【解答】解：由f（x）x|x|x|x|f（x），知函数f（x）x|x|为奇函数，又f（x）x|x|当x0时，f（x）x2在（0，+）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称，所以当x0时，f（x）x2在（，0）上也为增函数，所以函数f（x）x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确21，而2313，所以函数f（x）x3在定义域内不是增函数，故B不正确不关于原点对称，f（x）sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正确f（x）的定义域为x|x0，不关于原点对称，所以函数f（x）在定义域内不是奇函数，故D不正确故选：A【再练一题】下列函数中既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的函数是（）Af（x）sinxBf（x）|x+1|CD【解答】解：f（x）sinx是奇函数，但其在区间1，1上单调递增，故A错；f（x）|x+1|，f（x）|x+1|f（x），f（x）|x+1|不是奇函数，故B错；a1时，yax在1，1上单调递增，yax1，1上单调递减，f（x）在1，1上单调递增，故C错；故选：D思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立【题型二】函数的周期性及其应用【典型例题】已知函数f（x）满足f（0）2，且对任意xR都满足f（x+3）f（x），则f（2019）的值为（）A2019B2C0D2【解答】解：f（x+3）f（x），f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期为6，f（2019）f（3），又f（3）f（0）2，f（2019）2故选：D【再练一题】定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）f（x），当3x1时，f（x）（x+2）2；当1x3时，f（x）x，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）（）A336B337C338D339【解答】解：f（x+6）f（x），当3x1时，f（x）（x+2）2当1x3时，f（x）x，f（1）1，f（2）2，f（3）f（3）1，f（4）f（2）0，f（5）f（1）1，f（6）f（0）0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）1，f（x+6）f（x），f（x）的周期为6，f（1）+f（2）+f（3）+f（2019）336+f（1）+f（2）+f（3）338故选：C思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值【题型三】函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式【典型例题】已知奇函数f（x）（xR）满足f（x+4）f（x2），且当x3，0）时，则f（2018）（）ABCD【解答】解：奇函数f（x）（xR）满足f（x+4）f（x2），f（x+6）f（x），当x3，0）时，f（2018）f（3366+2）f（2）f（2）故选：D【再练一题】设偶函数f（x）对任意xR，都有f（x+3），且当x3，2时，f（x）4x，则f（107.5）（）A10BC10D【解答】解：因为f（x+3），故有f（x+6）f（x）函数f（x）是以6为周期的函数f（107.5）f（617+5.5）f（5.5）故选：B命题点2求参数问题【典型例题】已知函数f（x）lnx，且f（a）+f（a+1）0，则a的取值范围为（）A（1，）B（）C（）D（）【解答】解：根据题意，函数f（x）lnx，有0，解可得1x1，即函数f（x）的定义域为（1，1），有f（x）ln（x）（x）f（x），则函数f（x）为奇函数，分析易得，f（x）lnx在（1，1）上为增函数，f（a）+f（a+1）0f（a）f（a+1）f（a）f（a1），则有，解可得a0，即a的取值范围为（，0）；故选：B【再练一题】已知，若f（x）xa为奇函数，且在（0，+）上单调递增，则实数a的取值是（）A1，3B，3C1，3D，3【解答】解：若f（x）在（0，+）上单调递增，则0，排除A，C，当2时，f（x）x2为偶函数，不满足条件当时，f（x）为非奇非偶函数，不满足条件当3时，f（x）x3为奇函数，满足条件当时，f（x）为奇函数，满足条件故选：B命题点3利用函数的性质解不等式【典型例题】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（，0上单调递增，若实数a满足f（），则a的取值范围是（）A（）B（1，）C（0，）D（）【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（，0上单调递增，f（x）在R上都是增函数，则不等式f（），等价为f（）f（），即，则log3，即a即实数a的取值范围是（），故选：A【再练一题】定义在R上的函数f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）0，则f（x）0的解集是（）A（3，0）（3，+）B（，3）（0，3）C（，3）（3，+）D（3，0）（0，3）【解答】解：f（x）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（x）在（，0）内是增函数，f（3）f（3）0，f（3）0则对应的函数图象如图（草图）则当3x0或x3时，f（x）0，当0x3或x3时，f（x）0，即f（x）0的解集是（，3）（0，3），故选：B思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|)若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.基础知识训练1下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，是偶函数，函数图像开口向下在上单调递减，不符合题意；对于B，的图像不关于y轴对称，故不是偶函数，不符合题意；对于C，是偶函数，在（0，+）上单调递增，符合题意；对于D，是偶函数，在上单调递减，不符合题意；故选：C2已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】 为奇函数当时，可知上单调递增上也单调递增，即上的增函数 ，解得：本题正确选项：3设函数的最大值为，最小值为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】依题意，由于为奇函数，图像关于原点对称，故函数的最大值与最小值的和为，所以的最大值与最小值的和为，故选A.4下列函数中既不是奇函数，也不是偶函数的是ABCD【答案】B【解析】对于为偶函数，对于是奇函数；对于奇函数；对于时，时，该函数既不是奇函数，也不是偶函数，故选B5已知是定义在R上的奇函数，且当时，则等于AB8CD【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数，且当时，；故选：A6已知函数是定义在R上的奇函数，且（ ）AB9CD0【答案】A【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）f（x），又由f（1+x）f（1x），则f（x）f（2+x），则有f（x+2）f（x），变形可得f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）f（1+5054）f（1）f（1）9；故选：A7已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（ ）A6B8C12D14【答案】D【解析】f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），f（2）=0，且当x（0，2）时，则=0,则x=1，且在x（0，1）时，单调递减，在x（1，2）时，单调递增， =f(2)0,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为34+214，故选：D8设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，则=( )A2B2C4D6【答案】A【解析】因为的周期为2，所以，由为奇函数，则，但，故，故，选A9已知函数，则满足的取值范围是ABCD【答案】D【解析】因为的定义域是，故是奇函数，又，故递增，若，等价于，故，解得，故选D10已知是偶函数，且对任意，设，则（ ）ABCD【答案】B【解析】对任意，函数上为增函数又函数为偶函数，上单调递减，在上单调递增又，即故选B11已知偶函数在区间单调递减，则满足的x取值范围是ABCD【答案】D【解析】根据题意，偶函数在区间单调递减，则上为增函数，则，解可得：，即x的取值范围是；故选：D12定义在上的奇函数，当时，则的解集为（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，所以上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，因为是定义在上的奇函数，所以 时，上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为13若，则满足不等式的取值范围为_【答案】【解析】由题意得，所以是R上的奇函数，所以=0，又在R上单调递减，所以，即，所以，解得，即的取值范围为.答案为.14已知函数为奇函数，且图象的交点为，则_【答案】18【解析】函数为奇函数，函数关于点对称，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，图像的交点为，,两两关于点对称，.故答案为：1815已知定义在上的函数满足，且当时，则_【答案】【解析】由可得，所以，故函数的周期为，所以，又当时，所以，故16已知定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则_.【答案】0【解析】根据题意,为偶函数，则函数的图象关于直线对称,则有，若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称，则有,则有,设，则变形可得，则函数是周期为4的周期函数，又由函数的图象关于点对称，则，则有，可得，故答案为0.17已知定义在上的奇函数有最小正周期2，且当时，.(1)求的值；(2)求上的解析式.【答案】（1）0,0；（2）【解析】(1)f(x)是周期为2的奇函数，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由题意知，f(0)0.当x(1，0)时，x(0，1).由f(x)是奇函数，f(x)f(x)，综上，在1，1上，.18函数的定义域为，且对任意，有，且当时，()证明是奇函数；()证明上是减函数；(III)若，求的取值范围.【答案】()见解析()见解析(III)【解析】()证明：由，令y=-x,得fx+(x)=f(x)+f(x)，f(x)+f(x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.从而有f(x)+f(x)=0.f(x)=f(x).f(x)是奇函数.()任取，且，则由，0，即，从而f(x)在R上是减函数.(III)若，函数为奇函数得f(-3)=1,又5=5f(-3)=f(-15),所以=f(-15),由得f(4x-13)-15,解得x-,故的取值范围为19已知函数，且的定义域，并判断函数的奇偶性；对于恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）定义域为；奇函数;（2）时，时，.【解析】（1）由题意，函数，由，可得，即定义域为；由，即有，可得为奇函数；对于恒成立，可得当时，由可得的最小值，由，可得时，y取得最小值8，则，当时，由可得的最大值，由，可得时，y取得最大值，则，综上可得，时，时，20已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数上有零点，求的取值范围；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）；（）（3，+）；（） 9，+）【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围试题解析：（）设,则，a=3, ，因为是奇函数，所以，即, ，又，；（）由（）知：，又因在（0，1）上有零点，从而，即， ，k的取值范围为（）由（）知，在R上为减函数（不证明不扣分） 又因是奇函数，所以， 因为减函数，由上式得：,即对一切，有恒成立，令m(x)=,易知m(x)在上递增，所以，即实数的取值范围为 点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题能力提升训练1设函数的定义域为R，且，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是（ ）A BC D【答案】D【解析】由题意，令，可得，故A正确，令，可得，故B正确令，可得，；，故C正确，令，可得，故D错误，故选：D2已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且，则A2 B1 C0 D【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数，为偶函数，所以，且，则 ，即是周期为4的周期函数，所以，故选D.3设函数，则使得成立的的取值范围是A B C D【答案】B【解析】,所以为奇函数, ,所以单调递增,转化成 得到,解得x满足，故选B。4设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A B C D【答案】D【解析】对都有，所以是定义在上的周期为4的函数；作函数的图象，结合图象可知，解得，故选D.5设函数为定义域为的奇函数，且，当时，则函数在区间上的所有零点的和为A10 B8 C16 D20【答案】B【解析】因为函数为定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，可得，即函数是周期为4的周期函数，且 图像关于直线对称。故在区间上的零点，即方程的根，分别画出的函数图像，因为两个函数图像都关于直线对称，因此方程的零点关于直线对称，由图像可知交点个数为8个，分别设交点的横坐标从左至右依次为，则，所以所有零点和为8,故选B。6已知定义域为R的偶函数满足对任意的，有，且当时，.若函数上恰有三个零点，则实数的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】由于函数为偶函数，当时，即，故，所以函数是周期为的周期函数，且为偶函数.令，得到，也即函数图像与函数的图像有三个交点，画出两个函数图像如下图所示.由图可知，要使两个函数图像有三个交点，则需直线的斜率在两条切线的斜率之间.当时，将代入并化简得，其判别式，解得.同理，当时，将代入化简后，同样令判别式为零，求得.所以实数的范围是.故选B.7已知函数判断并证明函数的奇偶性；判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明；对一切恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）由题意，要使函数有意义，得，即函数的定义域为，为奇函数；上单调递减，证明如下：设，则，因为，即，上单调递减对一切恒成立，当时，取最大值，即，解得，故a的取值范围为8已知函数定义在上且满足下列两个条件：对任意都有；当时，有（1）证明函数上是奇函数；（2）判断并证明的单调性.（3）若，试求函数的零点【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）令,则，则；又令，则，即，所以函数上是奇函数. （2）设，则，因为则由条件知，所以函数上单调递增. （3），等价于则，因为函数上单调递增，所以，则，由，得，故的零点为.9已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】（1）因为上的偶函数，所以，即解得，经检验：当时，满足题意.（2）因为，所以因为时，存在零点，即关于的方程有解，令，则因为，所以，所以，所以，实数的取值范围是.（3）因为函数的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以令，得（*），记，当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去；当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；当时，时，解得，方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意.综上，的取值范围是.10已知函数为常数）.（1）若函数是偶函数，求的值；（2）在（1）条件下，满足的任意实数，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）函数是偶函数.恒成立即恒成立，也就是 解得：. （3）由（1）知,由得：，又n=2-m，整理得：实数m的取值范围是25
展开阅读全文