2020届高考数学总复习 课时跟踪练（五十五）圆锥曲线的综合问题 文（含解析）新人教A版

课时跟踪练(五十五)A组基础巩固1若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4 D4解析：因为椭圆1的右焦点为(2，0)，所以抛物线y22px的焦点为(2，0)，则p4.答案：D2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m()A. B.C. D0解析：由得A(2，2)，B.又因为M(1，m)且0，所以2m22m10，解得m.答案：B3(2019聊城模拟)已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为()Ayx1 By2x5Cyx3 Dy2x3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有得yy4(x1x2)，由题可知x1x2.所以2，即kAB2，所以直线l的方程为y12(x2)，即2xy30.故选D.答案：D4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：由题意知点(2，)在渐近线yx上，所以，又因为抛物线的准线为x，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.答案：D5已知抛物线y22px的焦点F与椭圆16x225y2400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为()A2 B2C3 D3解析：16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3，0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3，0)设A(x，y)，则由|AK|AF|得(x3)2y22(x3)2y2，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x3.答案：D6已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，焦点为F，则|AB|的最大值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.答案：67(2019福建四地六校模拟)过椭圆1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又因为P是A，B的中点，所以x1x26，y1y22，所以kAB.所以直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.答案：3x4y1308已知椭圆1(0bb0，由题意可得c，又椭圆的离心率为，得a2.所以b2a2c22，所以椭圆的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2得设直线方程为ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，所以x1x2，x1x2.由x12x2代入上式可得.所以k2.所以AOB的面积S|OP|x1x2|.10(2019沈阳模拟)设O为坐标原点，动点M在椭圆1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程E；(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值(1)解：设P(x，y)，则N(x，0)，(0，y)，又因为 ，所以M，由点M在椭圆上，得1，即1.即点P的轨迹方程E为1.(2)证明：当l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|，所以.当l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6，所以.当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则l2的方程为y(x1)联立得消去y，得(89k)x218k2x9k2720，则x1x2，x1x2，所以|AB|，同理可得|CD|，所以，为定值综上，为定值B组素养提升11(2019福州模拟)已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MNy轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28x解析：由题意可得F，直线AB的方程为yx.联立得方程组可得x23px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，则y1y2x1x2p2p，所以M，所以N(0，p)，直线MC的方程为yx.所以C，所以四边形CMNF的面积为S梯形OCMNSONFp7，又p0，所以p2，即抛物线E的方程为y24x.故选C.答案：C12(2019十堰模拟)如图，F1、F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A、B.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A4 B.C. D.解析：因为ABF2为等边三角形，所以|AB|AF2|BF2|，F1AF260.由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，所以|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，所以|BF2|4a.所以|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|AF1|cos 60，所以(2c)2(6a)2(4a)224a6a，即c27a2，所以e.故选B.答案：B13(2019深圳模拟)设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则_解析：设直线OP的方程为ykx(k0)，联立解得P，联立解得Q，所以|OP|，|PQ|，所以3.答案：314一题多解(2019广州综合测试)已知定点F(0，1)，定直线l：y1，动圆M过点F，且与直线l相切(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；(2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求PAB外接圆面积的最小值解：(1)法一设圆心M到直线l的距离为d，由题意|MF|d.设圆心M(x，y)，则有|y1|.化简得x24y.所以点M的轨迹C的方程为x24y.法二设圆心M到直线l的距离为d，由题意|MF|d.根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线，焦点为F(0，1)，准线为y1.所以点M的轨迹C的方程为x24y.(2)法一设lAB：ykx1，代入x24y中，得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|x1x2|4(k21)因为曲线C：x24y，即y，所以y.所以直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.因为k1k21，所以PAPB，即PAB为直角三角形所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径因为|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.法二设lAB：ykx1，代入x24y中，得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|x1x2|4(k21)因为曲线C：x24y，即y，所以y.所以直线l1的方程为yy1(xx1)，即yx.同理可得直线l2的方程为yx.联立，解得即P(2k，1)因为(x12k，y11)(x22k，y21)x1x22k(x1x2)4k2y1y2(y1y2)10，所以PAPB，即PAB为直角三角形所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径因为|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.法三设lAB：ykx1，由对称性不妨设点A在y轴的左侧，代入x24y中，得x24kx40.解得A(2k2，2k22k1)，B(2k2，2k22k1)所以|AB|4(k21)因为曲线C：x24y，即y，所以y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以直线l1的方程为yy1(xx1)，即yx.同理可得直线l2的方程为yx.联立，解得即P(2k，1)因为AB的中点M的坐标为(2k，2k21)，所以AB的中垂线方程为y(2k21)(x2k)，因为PA的中垂线方程为y(k2k)(k)x(2k)，联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k，2k21)因为点M，N的坐标相同，所以AB的中点M为PAB的外接圆的圆心所以PAB是直角三角形，且PAPB.所以线段AB是PAB外接圆的直径因为|AB|4(k21)，所以当k0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4.10