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行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用目 录1 引言(1)2 符号说明、基本定义、性质和命题(1)2.1 符号说明(1)2.2 初等行变换(1)2.3 矩阵的行等价(1)2.4 行简化梯形矩阵和主元列的定义(2)3 行简化梯形矩阵唯一性定理的证明(2)3.1 矩阵的行简化梯形矩阵的存在性(2)3.2 证明唯一性(2)4 行简化梯形矩阵的一些简单应用(5)4.1 化矩阵为行简化梯形矩阵，并确定主元列(5)4.2 应用行化简算法解线性方程组(5)4.3 行简化梯形矩阵的唯一性的两个重要应用(7)5 与已有的证明方法进行比较(7)6 对一些文献资料的思考(8)结束语(9)致谢(9)参考文献(9)行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用（莆田学院数学系 指导教师：）摘要：行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形,也称为行标准形或行最简形.它在线性代数中有着重要的应用,在国内外很多的教材中都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的,但对此唯一性很少给出证明.本文在前人已有证明的基础上给出了另一种证明方法,并总结出了它的几个应用.通过几种证明方法间的对比,来分析本文的证明过程与已有证明方法的不同之处.最后对几个文献资料进行了思考,指出了其中存在的错误,并说明了自己的一些看法.关键字：行简化梯形矩阵 唯一性 行等价 同解线性方程组 矩阵证法 Hermite标准形Abstract: Reduced echelon matrix is a form of matrix and also known as a row-canonical form or a row-easiest shape. It is very important in linear algebra. Many text books at home and abroad give the definition and application of the Reduced echelon matrix and show that it is unique, but few gives the proof for the conclusion. In this paper, we give another proof on the basis of the priors and introduce several applications of the Reduced echelon matrix. Then by comparing to the priors, we explain the differences between them. Finally, we point out some errors in some literatures and give some comments.Keywords: Reduced echelon matrix Unique Line equivalent Linear equations with the same solution Matrix Proof Hermite Standard Form101、引言 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，在线性代数中有着重要的应用（见文1，2，3，4等），但在很多的国内外教材中都未将此标准形的唯一性证明放在课堂教学上.“而2中虽亦列有唯一性定理,但未给出证明,只是说:这个定理的证明是十分麻烦的,我们省略它.”1对行简化梯形矩阵唯一性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文1、5、6、7）,可将它们归类总结为：一类是应用线性空间的知识进行证明（见文1、6、7），另一类是用矩阵证法（见文5）.这两类方法具有各自的特点.由于这两种方法所用的知识较多，不适合将它们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一.所以，寻找另一种应用工具简单、适合用于课堂进行同步教学的证明方法是非常有必要的.在深刻认识此课题的研究意义之后，现给出此唯一性的另一种证明方法.2、符号说明、基本定义、性质和命题2.1、符号说明数域 矩阵 阶单位矩阵 等价关系 矩阵的第行 2.2、初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵施行下列某个变换：(1)交换矩阵的第行和第行,记为；(对换变换)(2)用一个不等于零的常数乘矩阵的第行,记为；(数乘变换)(3)将矩阵的第行乘以一个常数，加到第行,记为.(倍加行变换)命题1（见1,定理3） 初等行变换不改变矩阵的秩.命题2(见2,定理) 对矩阵作行的初等变换，不改变列向量之间的线性关系.2.3、矩阵的行等价定义11 设，如果可以由通过有限次初等行变换得到，则称与行等价.记作.命题3(见1,定理1) 矩阵的行等价是的一个等价关系.由等价关系的定义可以得到:性质114 等价关系具有以下三种性质：(1)自反性：.(2)对称性：若，则.(3)传递性：若，则.2.4、行简化梯形矩阵和主元列的定义定义2(见1,定义1) 令表示数域上的所有矩阵，的任意非零的行中第一个非零元素称为这一行的“首”元素，如果矩阵满足下列条件：(1)每个首元素是1；(2)包含首元素1的每列中，其它的元素都是零；(3)每个零行（若有的话）都排在所有非零行的下面；(4)设在的第行首元素出现在列，的个非零行中首元所在列数满足，则称为行简化梯形矩阵.例如,矩阵 就是一个行简化梯形矩阵，也即是行最简形或行标准形.定义3 包含首元素1的每列中，其它的元素都是零，这些列称为主元列.首元素1所在的位置称为主元位置.命题4(见1,定理4) 矩阵的秩等于的行简化梯形矩阵中非零行的个数.3、行简化梯形矩阵唯一性定理的证明3.1、矩阵的行简化梯形矩阵的存在性命题5 中任意一个矩阵都可通过初等行变换使它行等价于行简化梯形矩阵.这个命题显然是成立的.对,先从最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置要在该列顶端,所以要在主元列中选取一个非零元作为主元,若有必要的话,对换两行使这个元素移到主元位置上.再用倍加行变换将主元下面的元素变成0.暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.最后由最右面的主元开始,把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用数乘变换将它变成1.这样就可以得到的一个行等价矩阵行简化梯形矩阵.具体的证明过程可见3或4.3.2、证明唯一性命题6（唯一性定理） 中任意一个矩阵仅与唯一的行简化梯形矩阵行等价，即的行简化梯形矩阵是唯一的.记的唯一行简化梯形矩阵为.证明 设，是的两个行简化梯形矩阵，则，.由性质1，得：.由命题1，4知与的秩相同，且非零行的个数相同，令的秩为，所以，可设 (1) (2)如上所示，设和中主元列分别为，和，.1)现证因为和是行等价的，所以由命题2可知,和中列向量之间的线性关系是一样的.设其中和分别是和的列向量.若，则，.设与的线性关系是， (3)则.得到.这样可知,对都会使(3)成立.由命题2知,此时，所以.而，所以.与(3)中的为任意数矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.若，则，.设， (4)由(4),则有解得由命题2同样可知,此时，因为(4)中的,所以.而，所以.与上面(4)所得的解矛盾.所以不成立.同理可得：也不成立.所以.依此类推，可得：这就证明了：2）因为和是行等价的，所以存在一个阶可逆阵，使得：.设，则由(1),(2)有(5)比较(5)两边对应可得：，即，其中是矩阵，是矩阵，是矩阵.由命题1可将矩阵和进行分块变成和，则.所以因为,而中含有个主元列,所以可容易计算解得.即有这样的一个阶可逆阵存在.而，即.这就证得了唯一性. 证毕.4、行简化梯形矩阵的一些简单应用4.1、化矩阵为行简化梯形矩阵，并确定主元列化矩阵为行简化梯形矩阵的基本步骤是:(1)由最左的非零列开始,这是一个主元列,主元位置在该列顶端.(2)在主元列中选取一个非零元作为主元,若有必要的话,对换两行使这个元素移到主元位置上.(3)用倍加行变换将主元下面的元素变成0.(4)暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.(5)由最右面的主元开始,把每个主元上方的各元素变成0,若某个主元不是1,用数乘变换将它变成1.例1 把下面的矩阵用行变换化为行简化梯形矩阵，并确定主元列.解 对矩阵作初等行变换,得:.此矩阵已是行简化梯形阵,第1、2、4列是主元列.4.2、应用行化简算法解线性方程组应用行化简算法解线性方程组的步骤是：(1)写出方程组的增广矩阵.(2)应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形，确定方程组是否有解.如果没有解则停止；否则进行下一步.(3)继续行化简算法得到它的简化阶梯形.(4)写出由第（3）步所得矩阵所对应的方程组.(5)把第(4)步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.例2 求出下列方程组的通解：解 对应的增广矩阵是：. 对作初等行变换，得：.由知，此方程组无解.其实在任何情况下我们都可将矩阵方程、向量方程以及线性方程组用相同的方法来求解即用行化简算法来化简增广矩阵.例如，若是矩阵，它的各列为，而，则矩阵方程与向量方程有相同的解集.它又与增广矩阵为的线性方程组有相同的解集. 所以用行化简算法来化简增广矩阵就可以求解这三种形式的问题.例3(见9,P121) 解线性矩阵方程其中,.解 对增广矩阵作初等行变换,其中.因为矩阵是一个通解矩阵(定义见9,定义2),所以,根据9,定理2, 有解且与同解.根据9,定理1的(i), 是的特解矩阵(定义见9,定义1).根据9,定理1的(ii),(iii),由的第2列和第4列构造的基础解系,得.于是的基础解阵(定义见9,定义1)为.对任意矩阵,是的通解,也是的通解.4.3、行简化梯形矩阵的唯一性的两个重要应用由文8,命题13可知有下面的两个重要应用:（1）用行简化梯形矩阵来求方程组的基础解系是唯一的，所以当题目要求用行简化梯形矩阵来求解方程组时,答案只有一个.不然线性方程组的基础解系可以不一样，这样答案就会有多个,当然它们互相等价.（2）同解线性方程组中，直接比较这两个线性方程组的行简化梯形矩阵，就可以知道这两个方程组是否同解.也就是，若这两个线性方程组的系数矩阵的行简化梯形阵相同，那么它们同解；否则两个方程组的解不同. 例4(见16,P105-106,例5.7) 设都是阶方阵,齐次线性方程组与有相同的基础解系,则也必是下列方程组的基础解系. (A) (B) (C) (D)以上均不对在文16中对此问题的分析与解答并不完整,其中对秩()=秩()这个条件没有说清楚.其实,可以用本文所提的“若两个线性方程组的系数矩阵的行简化梯形阵相同，那么它们同解”来解决这个问题.具体解答如下:因为线性方程组与有相同的基础解系,即它们同解,根据本文的3.3(2)可知, 的行简化梯形矩阵是相同的,设为,则存在阶可逆阵使得.因为,且是阶可逆阵,所以与同解,即与同解.又,均与同解,所以,这三个线性方程组是同解的.所以也必是(C)的基础解系.答案选(C).5、与已有的证明方法进行比较根据所收集的资料，已有的证明方法有以下四种：(1)文1中是应用线性空间的知识，先用行向量组等价的理论来证得主元列是相同的，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非零行向量是相等的，这样即证得唯一性.(2)文5采用“矩阵证法”，设，是矩阵的两个行标准形，由于，都是由经过初等行变换得到的，所以，是行等价的，这样就存在两个可逆矩阵，使得：，.根据，所具有的特别结构和特点进行比较并推出可逆阵，的结构，.这样就有： ，即证得了此唯一性.(3)文6中作者D.C.Lay并没有将此唯一性的证明放在定理中,而是将它放在课本的附录中,且只是用很简炼的语言说明了证明的思路.但要详细写出来的话并不是一件简单的事.D.C.Lay对此唯一性证明的思路是：假设一个矩阵的两个行最简形是和，先利用行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想来证出主元列相等，然后再考虑任意的非主元列，例如的列，“这个列或者是零或者是左边主元列的线性组合（因为这些主元列是第列左边列生成空间的一个基）.两种情形下，对第个元素为1的都可表示写成，那么也有.这说明的第列或者是零或者同样是它左边的主元列的线性组合，由于和对应的主元列是相等的，和的第列也相等，这个结果对和所有非主元列相等.”6这就证明了，即唯一性得证.(4)文7将此唯一性作为矩阵行标准形的一种性质给出.在文7,性质6中指出矩阵的行标准形是唯一的并给出了证明.先利用文7中的性质4：“是中最靠前的个线性无关的列向量，即任取的个线性无关的列向量，必有，其中，.”7证得主元列相同，再根据等价向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非主元列也是相等的，这样即证得唯一性.本文的证明正是在这已有的四种证明方法上给出的，它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的两个行等价矩阵，间存在一可逆阵有这个知识点，较完整地表述了证明过程. 所以,可以说它是前人已有证明方法的一种结合,与他们相比,是有存在不同之处的.此种方法也更适合用于课堂教学上，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这个证明.对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过程，学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此唯一性的证明有更深刻的理解.6、对一些文献资料的思考 文10,P229中有以下断言：“对任何，易证下列结论.1）总可以通过行初等变换化成行阶梯形阵，即存在初等方阵，使，且是唯一的，此时记为.”而从我们上面所做的这些工作可知，这个唯一性结论并不是那么容易证明的. 文11中给出Hermite标准形的定义：“定义1，设，若其元素满足：1）是上三角阵，即时，；2）或；3）若,则；4）若,则，（此时，称为首一元素），则称为Hermite标准形.”与行简化梯形矩阵的定义相比，当矩阵是时，行简化梯形矩阵是Hermite标准形的一种特殊情况；而当矩阵不是方阵时，行简化梯形矩阵可以通过增加或者删除零行来变成Hermite标准形.文12，P89有定理1:“对于齐次线性方程组,若,则该方程组的基础解系一定存在,且每个基础解系中所含解向量的个数均等于,其中是方程组所含未知量的个数.”对此定理的证明中有这样一段：“因为，故对矩阵施以初等行变换，可化为如下形式.”而根据行简化梯形矩阵的结构和相关定理可知，在这个证明中若对矩阵只施以初等行变换，是不可能化为像的这种形式，而应该化为像行简化梯形矩阵结构的形式，所以这个证明是有错误的.本文中的例1就是它的一个反例.另外，在国内外很多的高等代数和线性代数教材中(如文13,15)，虽然都有提到行简化梯形矩阵的定义及其应用，但就笔者所掌握的情况来看，还没有一本教材把“矩阵的行标准形是唯一的”这一结论的证明放在教学同步中使用.如文13，P61中叙述有：“由行最简形矩阵，即可写出方程组的解（2）：，其中为任意常数，反之，由方程组的解（2），也可写出矩阵，由此可猜想到一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的.”13指出了矩阵行标准形是唯一的，但没有给出证明，也没有它的应用.而这种现象产生的主要原因在于,没有充分认识到其实对此唯一性的证明是复杂的.而且在这里作者使用“猜想”,显然将猜想教给学生是很不合适的,因为猜想的结论不一定都是正确的,而只有经过严格证明的结论才是可靠的.结束语：本文所给出的证明相对已有的证明方法来说，既是对已有方法的改进和简化，对现在的课堂教学来说，它也很适合用在课堂上直接对学生进行教学.本文先介绍了此证明所要用到的符号、定义、性质及命题，然后再对此唯一性进行证明,并在第三部分中简单总结了它的几个应用.而在第四部分中,通过对已有的四种证明方法进行分析比较,来说明本文证明方法的不同之处. 最后对几个文献资料进行了思考,指出了其中存在的错误,并说明了自己的一些看法.当然,本文也存在着一些不足，希望能为我提出您宝贵的意见.另外,寻找此唯一性的更简单证明是非常有意义的,将它放在课堂上进行同步教学是高等数学教学的进一步发展.所以可以对此唯一性的证明进行更深一步的研究.致谢：本论文是在导师杨忠鹏教授的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时，本论文的顺利完成还离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助，在此对他们表示深深的感谢！参考文献：1 袁玉玲.简化梯形矩阵及其应用J.曲阜师范学报（自然科学版）,1983,(2):27-32.2 汪庆丽.矩阵行初等变换的定理及其应用J.岳阳师范学院学报（自然科学版）, 2002,15(1):12-14.3 (美)G.伯克霍夫,S.麦克莱恩 著.王连祥,徐广善 译.近世代数概论(上册)M.北京:人民教育出版社,1979:215-216.4 贾兰香,张建华.线性代数M.天津:南开大学出版社,2004:80-81.5 谭思文,杨忠鹏.关于矩阵的行等价的一些问题J. 吉林师院学报(自然科学版),1985,(1):54-56.6 （美）David C.Lay 著.刘深泉,洪毅,马东魁,郭国雄,刘勇平 译.线性代数及其应用（原书第3版）M.北京：机械工业出版社,2005:433-435.7 徐兆强.矩阵行标准形的一些性质J.甘肃教育学院学报(自然科学版),2001,15(4):11-13.8 晏瑜敏，杨忠鹏.矩阵行标准形与同解线性方程组J.北华大学学报(自然科学版),2006,7(1):6-10.9 韩维信.用初等行变换求线性矩阵方程的通解J.工科数学,2000,16(1):121-122.10 黄承绪.论矩阵行标准形及其应用J.武汉理工大学学报（交通科学与工程版）, 2003,27(2):229-330.11 孙卓明.一个被遗漏的Hermite标准形的重要性质及应用J.数学的实践与认识,2007,37(11):185-186.12 吴赣昌.线性代数(理工类)M.北京:中国人民大学出版社,2006.13 同济大学应用数学系.线性代数(第四版)M.北京:高等教育出版社,2003.14 牛少彰，刘吉佑.线性代数M.北京:北京邮电大学出版社,2000.15 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)M.北京:高等教育出版社,1988:108-111.16 俞正光,刘坤林,谭泽光,葛余博.线性代数通用辅导讲义(考研数学应试导引与进阶)M.北京:清华大学出版社,2006:105-106.
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