资源描述
“直线的倾斜角和斜率”教学设计一、内容和内容解析内容:直线倾斜角与斜率的概念,直线的斜率公式。内容解析:本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时,是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章,奠定基调,渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素,课本结合具体图形,在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念:当直线与x轴相交时,取x轴作基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为零,这样,直线倾斜角的范围是0180。直线的斜率是表示直线倾斜程度的代数表示,课本借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”引出直线斜率的概念:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。定义本身给出了直线的斜率与倾斜角的关系,沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。直线可由两点来确定,坐标平面内的点由其坐标确定,因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示,这就是经过两点直线的斜率公式,它沟通了直线斜率与点的代数表示的关系。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。因此,正确理解斜率概念,熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。教学重点:抽象概括直线的倾斜角和斜率概念,探究发现过两点的直线的斜率公式。二目标和目标解析目标:理解直线的倾斜角和斜率概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率公式。目标解析:1.在平面直角坐标系中,观察具体图形并结合动画演示,在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中,抽象出直线倾斜角的概念,明确倾斜角的取值范围。2.借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题,引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,明确倾斜角和斜率之间的关系。3.在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中,掌握过两点的直线的斜率公式的特点,能根据斜率的两个计算公式,求直线的斜率。4.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法,进一步体会“数形结合”的思想方法。三教学问题诊断分析1两点确定一条直线,这是学生知道的,但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线,以及如何来刻画这个量,对学生来说有点困难,所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别,从中形成倾斜角的概念。2对斜率概念的理解是本节的难点,学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样,另外,为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难,教学中通过日常生活的例子,充分利用学生已有的知识(坡度概念),引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来,并通过坡度的计算方法,引入斜率的概念。教学难点:倾斜角概念形成,斜率概念的理解。四教学条件支持为了有效实现教学目标,考虑到学生的知识水平和理解能力,借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片,从激励学生探究入手,讲练结合,直观演示能使教学更富趣味性和生动性。五教学过程设计(一)开篇语引导性语言:在初中,不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示,开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示,这样就把对图形的研究转化为对函数的研究,这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何,它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。课后请同学们阅读课本P111笛卡儿与解析几何,进一步了解关于解析几何的介绍。那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形?如与x平行或垂直的直线,开口向右或左的抛物线,圆等等。设计意图:通过对已有知识及思想方法的回忆,寻找新的知识“生长点”,引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。(二)课题引入引导性语言:我们先研究坐标平面内最简单的图形直线。为此,我们先探索确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。设计意图:使学生明确本课学习的内容。(三)探究新知1倾斜角概念问题1:如图1,对于平面直角坐标系内的一直线l,你认为它的位置由哪些条件确定?设计意图:明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。师生活动:引导学生发现:两点确定一条直线,过一点不能确定一条直线。 问题2:如图2,在直角坐标系中,过点P1的不同直线的区别在哪里?设计意图:引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。问题3:在直角坐标系中,任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度,可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢?设计意图:探索描述直线的倾斜程度的几何要素,由此引出倾斜角的概念。问题4:依倾斜角的定义,倾斜角的范围是什么?设计意图:让学生明确倾斜角的取值范围是0180。问题5:任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?设计意图:使学生理解确定一条直线位置的几何要素是:直线上的一个点以及它的倾斜角,两者缺一不可。2斜率概念引导性语言:我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素,那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢?设计意图:告知目标,明确思维的方向,将几何要素代数化。问题6:在日常生活中,我们有没有碰到过表示倾斜程度的量?设计意图:基于学生的客观现实,结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。师生活动:引导学生在生活中举例,比如,山坡,楼梯等,教师适时给出游乐场里的水滑梯,大桥的引桥等教学情景。问题7:(1)观察图5,6,我们发现坡越陡,坡面与地平面所成的角越大,你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关?(2)观察图7,坡面与地平面所成的角不变的情况下,升高量和前进量都在变化,那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系?能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系?问题8:从上面的讨论,我们发现,如果使用“倾斜角”的概念,“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”,由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度?设计意图:探索描述直线的倾斜程度的代数表示,由此引出斜率概念。问题9:是否每条直线都有斜率?倾斜角不同,斜率是否相同?由此可以得到怎样结论?设计意图:沟通数形关系,加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。3斜率公式问题10:两点确定一条直线,直线确定,倾斜角也就确定,斜率也就确定了,那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)(其中x1x2)的坐标来表示,你能自己导出它们的关系吗?设计意图:让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。问题11:当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?设计意图:通过自己的探索,完善两点式斜率公式k=(x1x2),检验得到公式与P1,P2两点的顺序无关。师生活动:总结两点式斜率计算公式:k=(x1x2)。(四)应用举例例1.如下图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。设计意图:直接利用斜率定义式求解,熟悉斜率公式,并体验斜率与倾斜角之间的关系。变式1.直线的斜率为k,倾斜角为,若,则k的范围是( )A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.-1,1D. (-,-11,+)变式2.设直线的斜率为k,倾斜角为,若-1k1,则的取值范围是 ( )A(-,) B. C.(0,)(,)D. 设计意图:根据斜率的定义式,结合图象,熟悉倾斜角和斜率的关系。例2.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,和2的直线。 设计意图:要求学生画图,体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。(五)课堂小结(1)在本节课中,你学到了哪些新的概念?他们之间有什么关系?(2)怎样求出已知两点的直线的斜率?(3)从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度,到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度,这个过程中主要体现了什么数学思想?设计意图:培养学生反思的习惯,鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。师生活动:让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法:倾斜角(形)和斜率(数)。利用确定直线的两种方法,归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。六、目标检测设计1已知直线的倾斜角为,若sin=,求此直线的斜率。2已知直线y=xsin-1,求该直线倾斜角范围。3在x轴上有一点P与Q(2,)倾斜角为150o,求点P坐标。4求证:点A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条直线上。设计意图:通过训练,巩固本课所学知识,检测运用所学知识解决问题的能力。下载:
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