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习题一一、填空题1设则此函数的定义域是_.2. 极限_.3. 设f(x)=arcsinx,(x)=lnx,则的定义域是_.4. 设在处连续,则的值为_.5 当时,f(x)是比g(x)高阶的无穷小,则当时, 无穷小 f(x)+g(x) 与无穷小g(x)的关系是_.6. 7. f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是_.8. 的一个可去间断点_.9. 的值等于_.10. 的定义域是_.11. 若当是等价无穷小，是比高阶的无穷小，则当时，函数的极限是_.12. 设的定义域是则的定义域是_.13. 的一个无穷间断点=_.14 在区间_是连续的。15. 的定义域是_.16. 极限_17. _的定义域是_. 18. 极限_.19. 的值等于_.20. 的定义域是_21. 设，则的定义域是_.22. 要使函数在x=0处连续，则须定义f(0)的值为_23. 极限_.24 的定义域是_.25函数的连续区间为_. 26. 的值等于_.27 . 的值等于_.28. 若，则a=_29. _.选择题1. 则是的(A)连续点; (B)可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D)无穷间断点. 答: （）2. 当时为无穷小是 的（A）充分但非必要条件 （B）必要但非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件，也非必要条件答: （）3. 设,则此函数是(A)奇函数, (B)既不是奇函数也不是偶函数,(C)周期为的周期函数 (D) 周期为的周期函数. 答: （）4. 极限的结果是(A)1 (B) (C)2 (D)极限不存在. 答: （ ）5. 设,则此函数是(A)有界函数 (B)奇函数(C)偶函数 (D)周期函数答:( )6. 函数当时的极限值是(A) (B) (C)0 (D)不存在. 答:( )7. (A)高阶无穷小 (B)同价无穷小，但不是等价无穷小(C)低价无穷小 (D)等价无穷答: ( )8. 等于（A）1 （B） （C）2 （D）0答: ( )极限的结果是（A）无穷大 （B）0 （C） （D）不存在，也不是无穷大答: ( ) 10设，则是的：（A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡 间断点 答: ( ) 11.函数f(x)在点连续是存在的（A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）即非充分又非必要条件 答: ( ) 12. 在其定义域 上是（A）有界函数 （B）周期函数（C）偶函数 （D）奇函数答: ( ) 13. 设，则是的：（A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡 间断点 答: ( ) 14. 极限的结果是(A) 0; (B) 1/2;(C) 无穷大， （D）不存在.答： （ ）15. 在定义域上为（A）周期是3的函数； （B）周期是/3的函数；（C）周期是2/3的函数； （D）不是周期函数. 答： （ ）16. 若当时都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小：（A）； （B）；（C）； （D）.答： （ ）17.“数列极限存在”是“数列有界”的（A）充分必要条件； （B）充分但非必要条件；（C）必要但非充分条件；（D）既非充分条件，也非必要条件。答： （ ）18. 极限的结果是（A） 0， （B）1 /2，（C）1/5， （D） 不存在。 答：（ ）19. 设.则是f(x)的（A） 可去间断点； （B）跳跃间断点； （C）振荡间断点； （D）连续点. 答：（ ）20. 设0ab，则数列极限是(A) a; (B) b;(C) 1; (D) a+b. 答：（ ）21. 设，则x=0是f(x)的(A) 连续点； (B) 可去间断点；(C) 无穷间断点； (D) 振荡间断点.答：（ ）22. 为（A）k （B） （C）1 （D）无穷大量答：（ ）三、计算题1.求极限 . 2.设，求的定义域.3. 已知，试求常数使 . 4 写出的表达式.5.求极限.6求极限.7. 求 8求极限.求数列极限的值.10. 求极限.11. 求极限.12. 若，求a.13. 求14. 讨论函数的连续性.15. 设，求.四、证明题： 1. 设在点连续且，试证明：存在点的一个邻域 ，在此邻域内 .2. 若是定义在(-1,1)内的奇函数，且在0,1内单调减少，试证：在(-1,0)上也单调减少. 3. 设有n次多项式=，若多项式的第一个系数 与最后一个系数 异号,证明方程有一个正根.习题二一、填空题1.若f(x)为可导的奇函数,且,则.2.3设4.5. 设y=y(x)由方程所确定，则.6. .7. 设二 选择题1.已知曲线L的参数方程是则曲线L上处的法线方程(A)2x-4y+1=0; (B)4x-2y-1=0; (C)2x+4y-3=0; (D)4x+2y+3=0.2. 设3. 已知a是大于零的常数,则f的值应是（_）4.设 ，则等于（_）5.已知 ，则等于（-）6.设其中 都是可微函数，且则下列诸微分式正确的是 ( )7.设则的值等于（）（A）101!； （B） -101!/100；（C）101!； （D） 100!/99 。8.设 则为（）9.过点，试作曲线的切线，则此切线（）（A）不存在； （B）方程为x=1;(C) 方程为y=2; (D) 方程为y-2=（x-1）/3 10. 设是实数，函数在x=1处可导时，必有( )(A) -1; (B) -1;(C) (D). 11设则等于：( )（A） （B）2xg(x);(C) (D) 12. 设都可微，则dy=( )(A) (t)dt; (B) (x)dx;(C) (t)(x)dt (D) (t)dx13. 设曲线与直线x=1的交点为p，则曲线在点p处的切线方程是：（_）(A) 2x-y+2=0; (B) 2x+y+1=0;(C) 2x+y-3=0; (D) 2x-y+3=0; 计算题1. 求函数的导数2.设y,求3.设其中是正的常数，且求.4.设求及5.设其中三阶可导且求.6. 设由方程 所确定，求.7.设 求.8. 设y=y(x)由方程所确定,求9.设 ，10. 设f(x)三阶可导,试求对x的一、二、三阶导数.11.设求12.设求.13.设，求. 14.设求.15.设 确定，求。16.设由方程所确定，求.17.设曲线方程，求此曲线在横坐标的点处的法线方程.18.验证函数满足关系式.19设 求20. 设函数由方程所确定，求 21.试求过点且与曲线上点的切线相垂直的直线方程。 22设，求23，求24设25.26. 设，求其反函数x=x(y)的导数。27. 设，其中f(t)为三阶可导且求及.28.设求.29. 设求30.设y=y(x)由方程所确定，求。31. 设为f(u)可微函数,而，求。32.求函数的导数，。33设，其中在点x=a处连续，求(a).34设,求35.设求。36. 设y=cosln(1-)，求37. 设y=y(x)由方程xy=arctan所确定，求。38.设y=y(x)由方程组所确定，求的值39.设 圆上任意一点M（x,y）（点M在第一象限）处的切线与OX轴,OY轴分别交于A点和B点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB的面积S表为x的函数. 四、证明题：1设f(x)在可导,若实数a,使+af(x)0;当时(x)0是f(x)在处取得极大值的(A) 必要条件，但非充分条件; （B）充分条件，但非必要条件;（C）充分且必要条件; （D）既不是充分也不是必要条件. 答：（ ）13. 设，则在内使成立的点(A) 只有一点； （B） 有两个点；（C） 不存在； （ D） 是否存在，与a,b之值有关.答： （ ） 14 设在上连续，在内可导，则（I）：在内与（II）：在上 之间的关系为：（A） （I）是（II）的充分但非必要条件；（B） （I）是（II）必要但非充分条件；（C） （I）是（II）的充分必要条件；（D） （）不是（）的充分条件，也不是（）的必要条件；答： （ ） 15 设在含有的区间可导，且=k0，则必有(A) 是的极小值； （B） 是极大值；（C） 在x=的邻域内单调增； （D） 在x=的邻域内单调减；答：（）计算题（本题共7小题，每小题7分，满分49分。）求在上的最大值与最小值.2. 设函数具有二阶导数，且，试求 3. 确定的单调区间.4. 求 在上的最大值和最小值.5. 求在上的最大值和最小值.6求极限7.计算.8. 求在上的最大值和最小值.9. 确定的单调区间.10. 设有三阶导数，且，求曲线的拐点坐标.11求极限.12. 求极限13. 求极限 14. 求极限15. 求的极值.证明题：证明：当时，有不等式.设在处二阶导数连续，且.证明：在处必有拐点3. 试证：当时，有不等式.4. 设在可导,若实数a,使+af(x)0时,ln(1+x)1时，习题四一、 填空题1 _.2. _.3. _.4. _.5. _.6. =_.7. 8. _.9. _.10. _.11. _.12. _.13. _. 14. _.15. _16. _.二、选择题1. 若，则等于 ( ):(A) (B) (C) (D)2. ( )(A) (B) (C) (D) 三、计算题1. 计算2. 求3. 求4. 求5. 6. 7. 8. 求9. 10 11. 12. 求 13. 14. 15. 16 计算17 . 求18. 求19. 求20. 求21. 求。22 求23. 计算24. 求25. 计算26 求. 27 . 求。 28. 计算29. 计算30. 求31. 计算32. 求33. 求 34. 35. 习题五一、填空题1. 由曲线 ()，直线， ()及轴所围成的平面图绕 轴旋转而成的旋转体之体积_. 2. 由曲线及直线所围成图形的面积是 _.3.若在上连续，则与的关系是_.4 曲线与直线围成一个平面图形， 此平面图形绕轴旋转产生的旋转体的体积 是_.5. 由曲线及直线所围成的平面图形是_.6. _.7定积分值的符号是_.8由曲线xy=1及直线y=x,y=2所围成图形的面积值是_.9. 设在a,b上连续，且，(a0)所围图形的面积A等于(A) ; (B) ;(C) , (D) . 答: ( )3. 设(u)连续,已知则n应是(A)2, (B)1, (C) 4, (D)1/4 答: ( )曲线y=sinx在上与x轴所围成的图形的面积为(A)2, (B)0, (C)4, (D)6. 5. 函数在闭区间上连续是定积分存在的(A)必要条件, (B)充分条件,(C)充分必要条件, (D)即非充分也非必要.答: ( )6. 在上连续,且,则必(A). 在的某个小区间上; (B). 对于上的一切均使;(C). 在内至少有一点使;(D). 在内不一定有使. 答: ( )7. 设连续,则之值为(A)0; (B)a; (C)af(a); (D)f(a) . 答: ( )8. 由相交于点及其中的两曲线，所围成图形绕轴旋转一周所的的旋转体体积是：(A). ; (B). ;(C). ;(D). . 答: ( )9. 定积分的值是答: ( )10. 设，则等于： 答: ( )11. 曲线与所围部分的面积答: ( )12. 曲线与所围部分的面积为： 答: ( )若连续曲线与在上关于轴对称，则的值为：答: ( )14. 若 ，则：答: ( ) 15. 椭圆绕轴旋转得到的旋转体体积与绕轴旋转得到的旋转体体积之间的关系是： 答: ( )16. 曲线在上的一段弧长为 ：答： （ ）17. 曲线与x轴的正半轴所围图形的面积为：答： （ ）18. 设在连续，在积分中值定理中，是（A）内的任一点； （B）在上至少存在的某一点；（C）内唯一的某点； （D）内的中点。 答 ： （ ）19 曲线从到一段弧长为（A） （B）（C） （D）。 答： （ ）20. 等于（A） （B） （C） （D）答： （ ）21下列积分中能用牛顿-莱布尼兹公式的是（A） （B） （C） （D）答： （ ）22. 函数在区间0，1上的最小值为 （A）； （B）；（C）； （D）0 .答：（ ）三、 计算题1. 计算.2. 抛物线分割圆成两部分,求较小部分的面积.3 . 计算.4. 计算.5. 计算.6. 计算7. 计算8. 设，求，（其中）. 9. 计算 .10. 设求.11. 计算.12. 计算.13. 计算14计算. 15设，求.16求.17. 求极限.18. 计算19. 计算.20. 计算 21 求22. 试求位于曲线下方，x轴上方，y轴右侧的图形面积。23. 计算24. 求由所围图形的面积。25. 计算26. 计算 27. 计算.28 计算.29. 如果为线形函数:,计算在上的平均值是.四： 证明题：1. 设负函数在上连续且，试证明：在上.2. 如果 是以为周期的连续函数，证明对任意实数有 3. 设求证.4. 证明：习题六一、填空题1设函数是微分方程的通解，则.2.微分方程用待定系数法确定的特解形式是3.微分方程的通解为4.曲线族所满足的一阶微分方程是5. 微分方程的通解为6.若是某二元函数的全微分则a,b的关系为7.微分方程x=ylny的通解是8.微分方程的通解为9.微分方程+y=cosx(1+2sinx)用待定系数法确定的特解形式是10.微分方程的通解是11 微分方程的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是12.微分方程 的通解是二、 选择题1.设（其中是任意常数）是微分方程（A）通解 （B）特解（C）是解，但既不是通解，又不是特解（D）不是解. 2.微分方程的特解形式是 3.微分方程的一个特解应具有形式（其中为常数）4.微分方程是（A）可分离变量方程；（B）线性方程（C）伯努力方程； （D）全微分方程.5微分方程的一个特解应具有形式（其中为常数）6.微分方程是（A）可分离变量方程；（B）线性方程（C）伯努力方程； （D）全微分方程.7.微分方程的特解形式应设为8.微分方程的一个特解应具有形式（其中为常数）9.微分方程的一个特解应具有形式（其中为常数）(A) (B)(C) (D) 10.函数是微分方程的(A)通解; (B)特解;(C)是解,但既非通解,也非特解; (D)不是解. 11 微分方程（为整数）(A)当n=0或1时为贝努利方程; (B)当n0或1时为贝努利方程;(C)当n0或1时为线性方程; (D)为全微分方程. 12.微分方程 的一个特解应具有形式(a,b,c,E为常数) 13.微分方程是(A)贝努利方程, (B)可化为一阶线形的微分方程,(C)全微分方程, (D)齐次方程. 14.微分方程的一个特解应具有形式（其中为常数）15.函数（其中是任意常数）是微分方程的（A）通解 （B）特解（C）不是解 （D）是解，但既不是通解，又不是特解. 16.函数（其中是任意常数）是微分方程的(A)通解, (B)特解,(C)是解,但既非通解也非特解, (D)不是解. 17.微分方程+2+=shx的一个特解应具有形式(A) (B), 18. 微分方程是(A)可分离变量的微分方程; (B)齐次方程;(C)一阶线形微分方程; (D)全微分方程. 19.微分方程的一个特解应具有形式(其中a,b,c,d为常数)20. 函数（其中是任意常数）是微分方程的(A)通解, (B)特解,(C)是解,但既非通解也非特解, (D)不是解. 21微分方程的一个特解应有形式(式中a,b为常数)三、计算题1.求微分方程的通解2. 求微分方程的通解3.求通过点（2,2）的曲线方程,使曲线上的任意点处的法线与原点的距离等于该任意点纵坐标的绝对值.4. 求微分方程的通解5. 求微分方程的通解6.求微分方程满足的特解7求微分方程的通解（其中为非零实数）8求微分方程的一个特解.9.试确定常数使微分方程在半平面上是全微分方程，并求此全微分方程的通解.10.求微分方程的通解. 11.求微分方程满足的特解.12.求微分方程的通解. 13求方程的通解。14.求微分方程的通解. 15.求微分方程的通解. 16.求微分方程满足的特解. 17.求的积分曲线方程,使积分曲线通过点(0,1/2)且在该点处的切线斜率为2.18求解方程19.求微分方程x(1-siny)dy+(y+cosy-2x)dx=0的通解.20. 求微分方程的通解21.求方程的通解。22.一质点的加速度与其速度的立方成正比,而方向相反,求质点在时间t中所经过的路程.设23.解微分方程 24.求微分方程(1-x)=1的通解.25求微分方程的通解.四、证明题：1. 设函数都是方程的特解，（其中为已知函数）且常数，证明：（其中为常数）为方程（1）的通解.2.（1）若证明有一特解若 证明有一特解 （2）根据上面的结论，求满足初始条件的特解3.设是方程的一个解,是方程的一个解,证明；是方程的解.4.设f(x)是二次可微函数,且(x)+(x)(x)=0,证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0,证明f(x)在该两点之间恒为零.5.如果可微函数满足关系式证明习题七一、填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为_.2_.3. 过点且平行于向量和的平面方程为_.4._.5. _6._.7._.8._.9. 设互相垂直,且模等于_.10 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是_.1 1._.选择题1 2 3. 4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy平面 (B)平行z轴,但不通过z轴;(C)垂直于z轴; (D)通过z轴. 答:( )567. 8. 9.方程在空间解析几何中表示(A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( )10. 对于向量，有若，则中至少有一个零向量1 1. 方程表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( ) 12.双曲抛物面(马鞍面)与xoy平面交线是(A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。）123. 4.567四、证明题：1.填空题1. _.2._.3._.4设，则 _.5 _.6._. 7_.8._.9._.10._.11._.12._.13 .设函数z=z(x,y)由方程xz-y+arctany=0所确定,则_.14._.15. _.16. _.17. 设f(x,y)是初等函数且在(x,y)D域上有定义,则必f(x,y)在_上连续.18.函数的驻点是_.19. _.20.二、选择题1.2 34. 5. 函数z=ln(-x-y)的定义域是6.7. (8. 9.10. 若曲线x=t+cost,y=t+1,z=1-sint,在的对应弧段上P点处的切线向量与三个坐标轴的夹角相等，则P点对应的t值为11设函数在原点(0,0)不连续,这是因为(A)在原点无定义; (B) 在原点无极限;(C) 在原点极限存在,但无定义; (D) 在原点极限存在,但不等于函数值. 答:( )12.13(A)连续但不可导; (B)不连续但可导;(C)可导且连续; (D)既不连续又不可导. 答:( )14 三、计算题1.2.3.4.5 678.设，求9.1011.12.设，求和。13.14.求曲线在点P(4,2,2)处的切线与oy轴的倾角.15.16.求方程所确定的函数的偏导数。17.18.19求函数z=xy(x+y)在闭域上的最大值和最小值. 20求函数的极大值点或极小值点.21设，而，为可导函数，求22 2324 25. 26.27. 28.要建造一个表面积为108平方米的长方体形敞口水池,问水池的尺寸如何,才能使其容积最大.四、证明题： 1.2. 3.设，证明：一、填空题1._.2.设一薄板在平面xoy内占有有界闭区域D,其面密度为连续函数则此薄板的质量可以用二重积分表示为_.3.改变二次积分的顺序，则I=_.4_. 5_.6.改变二次积分的次序，则I=_.7 _.8._.9. 设D是平面xoy内一薄板所在的有界闭区域,其面密度为连续函数则此薄板的质心G(可用二重积分表示为_.10.是某二元函数的全微分则a,b的关系为_.11. _.12. 设L是从点A(-1,-1)沿经点E(1,-2)至点B(1,1)的曲线段,则曲线积分_.13. _.14. _.15. _.16.设在D：上连续，则I=_. 17. 若是由z与确定的闭区域,的大小关系是_.18._.19. _.二、 选择题1. 2.3. 4 5. (6.7. 8910. 11.12.13.14.15. 16. 三、计算题1.2.计算其中D：34. 5.6.78计算，其中D：。910计算，其中D是由x轴，y轴和圆周所围成的第一象限部分的区域 11计算，D是由所围成的在第一象限的区域。12 .计算曲线积分式中L由不等式所确定的区域D的正向边界.13.计算其中D：1415计算，其中16. 17.18计算，其中D：。1920.21改变二次积分的次序。22计算锥面与上半球面所围成的立体的体积。23 24.利用曲线积分计算星形线所围成的区域的面积A.25. 26.27. 计算二次积分28.29.薄板在面上所占区域为。已知薄板在任一点处的密度为，求薄板的质量M。30计算，其中D是由轴，及所围成的区域。31.计算，D由，及围成。四、1.2. 3.证明：4.证明:由x=a,x=b,y=f(x),及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所形成的立体对x轴的转动惯量(密度=1)为.其中f(x)是连续的正值函数.5.证明；:当时,存在二元函数u=u(x,y)使并求u=u(x,y)7. 设f(u)连续,试证:.填空题1.的和等于_.2_.3._.4_.5 _.6. _.7. _8._.9. 把展开为x的幂级数,其收敛半径R=_.10. _.11. 级数的收敛域为_.12.把ln(a+bx) (式中展开为x的幂级数,其收敛半径R=_.13. _.选择题1. 2.下列级数中，收敛的是（A） （B）（C） （D3.幂级数的收敛半径R为（A）1 （B） （C） （D）4. 幂级数的收敛半径R为5. (A)充分条件,但非必要条件, (B) 必要条件,但非充分条件,(C)充分必要条件, (D)既非充分条件,又非充分条件. 答:( )6. (A)b; (B)1/a; (C)1/b; (D)R的值与a,b无关. 答:( )7.(A)当时，绝对收敛；（B） 当时，条件收敛；（C）当时，绝对收敛；（D）当时，发散。 答：（ ）8若幂级数在x=-2处收敛,在x=3处发散,则该级数(A)必在x=-3处发散; (B)必在x=2处收敛;(C)时发散; (D)其收敛区间为-2,3. 答:( )9.(A)全是发散的. (B)全是收敛的.(C)左端点收敛,右端点发散, (D) 左端点发散,右端点收敛. 答:( )10(A)发散; (B)条件收敛.(C)绝对收敛; (D)收敛性不能确定. 答:( )11. (A)必绝对收敛, (B) 必条件收敛,(C)必发散, (D)可能收敛,也可能发散. 答:( )12.(A)充分条件,但非必要条件, (B)必要条件,但非充分条件,(C)充分必要条件, (D)既非充分条件,又非必要条件. 答:( )三、计算题1.2求函数的麦克劳林展开式（须指明收敛区间）。3.4. 5.678.9把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。10. 11. 12.1314.将展开成麦克劳林级数,并求其收敛区域.15. 用定义判定级数的敛散性,若级数收敛,试求其和.16.项）。17.将函数展开成的幂级数，并指明收敛区间。18.判别级数的敛散性,如收敛求其和.19把展开成的幂级数，并写出它的收敛区间。20. 把函数展开成的幂级数，并指出它的收敛区间。21.22. 把函数展开为幂级数，并指出其收敛区间。23.24. 求级数的收敛区间(端点要讨论).25. 判别级数是否收敛,如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?26把函数展开为的幂级数，并指出它的收敛区间 。四、证明题：2.证明:由等差级数各项的倒数组成的级数是发散的.3.
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