高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教A版必修5.doc

第三讲 不等式一、 核心要点1、 不等式的性质（1）不等式的基本性质：（同向不等式可加不可减，可乘不可除）（尽量减少加和乘的次数）A、对称性：；B、传递性：；C、可加性：；D、可乘性：；E、加法法则：;F、乘法法则：;G、乘方法则：;H、开方法则：.（2）比较两数或两式的大小方法：（作差法步骤：作差变形定号）A、作差法：对于任意，； ； ；B、作商法：设，则 ； ； .备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：；平方和公式：.2、 不等式的解法；（1）一元二次不等式及的解法：（转化为）A、若方程的且两实根分别为，则不等式的解集为，不等式的解集为；B、若方程的且两相等实根分别为，则不等式的解集为，不等式的解集为；C、若方程的，则不等式的解集为，不等式的解集为.（2）分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解（具体见模块）； （3）高次不等式的解法：序轴标根法（过程见模块）；（4）无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式（具体见模块）；（5）绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法（具体见模块）.3、 基本不等式：如果，则（当且仅当时取“”）（一正二定三相等）.（1）特例：，；（同号）.（2）变形：；（3）扩展：.（备注：调和几何算术平方）.4、 均值定理：已知.（1）如果（定值），则（当且仅当时取“”）“和定积最大”.（2）如果（定值），则（当且仅当时取“”）“积定和最小”.5、 判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、 线性规划中常见代数式的几何意义：（1）表示点与原点之间的距离；（2）表示点与点之间的距离；（3）表示点与原点连线的斜率；（4）表示点与点连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质：题型一：不等式的性质：例1、如果满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A、B、C、D、练1：设，则下列不等式成立的是（ ）A、B、C、D、练2：已知，并且，那么一定成立的是（ ）A、B、C、D、题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若且，试比较与的大小.解：由于又且，所以，所以.练3：若，试比较与的大小.答案：由于，所以且，故，所以.练习4：设且，试比较与的大小.答案：，因为且.若，所以，故；若，所以，故.综上所述，.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、（10辽宁理）已知且，则的取值范围是 . 解析：令，得，解得，即.由，得，所以，故的取值范围是.练习1：已知且，求的取值范围.解析：设，所以，解得.所以.所以，即，所以的取值范围是 .练习2：设，且，求的取值范围.解：设，则，即，于是得，得.所以.因为，所以，故.练习3：（10江苏）设为实数，满足，则的最大值是 . 解：设，化简得，得，所以的最大值是.考点二、一元二次不等式及其解法：题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（ ）； ； .A、B、C、D、题型二：简单一元二次不等式的求解：例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）由，得. 又方程的两根是或，所以原不等式的解集为.（2），即， 又方程的根为.所以的解集为.（3）由，得，而的两个根是或.所以不等式的解集为.（4）原不等式可化为，即，所以不等式的解集为.题后感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图(5)根据图象写出不等式的解集.练1：求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）；（2）；（3）；（4）.练2：设集合，则中有 个元素. 练3：解下列不等式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）；（2）；（3）.题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于的不等式.（因式分解比较两根大小分类讨论求解）解：原不等式可化为，对应的一元二次方程的根为，（1）当时，不等式的解集为.（2）当时，原不等式化为，无解.（3）当时，不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为：时，；时，；时，.题后感悟含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式练4：解关于的不等式：（1）；（2）.答案：（1）原不等式可化为.当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为.（2）当时，原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集为；）当时，原不等式可化为，对应方程的两根为.当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为；当时，所以原不等式的解集为.）当时，原不等式可化为，对应方程的两根为，又，所以原不等式的解集为.练5：解不等式.答案：（1）当时，原不等式转化为，即，得不等式的解集为.（2）当时，将原不等式两边同时除以可转化为，因为，所以不等式的解集为.（3）当时，原不等式转化为，当时，解集为；当时，所以不等式的解集为；当时，所以不等式的解集为.考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、已知不等式对于所有的实数都成立，求实数的取值范围.解：若，则原不等式可化为，即，不合题意，故.令，因为原不等式对任意都成立，所以二次函数的图像在轴的下方.则且，即，所以，故的取值范围为.题后感悟不等式恒成立问题方法总结：(1) 恒成立；(2) 恒成立；练1：若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.答案：当时，原不等式可化为，其解集不为，故不满足题意，舍去；当时，要使原不等式的解集为，只需，解得.综上，所求实数的取值范围为.练2：若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）当，即时，若，则原不等式可化为，恒成立，若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去.（2）当，即时，原不等式的解集为的条件是，解得综上所述，当时，原不等式的解为全体实数.练3：若不等式对恒成立，求实数的取值范围.答案：因为时，原不等式为，所以时成立.当时，由题意得，即，解得.综上两种情况可知.题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、若不等式的解集为，求不等式的解集.解：方法一：由的解集为知，又，则.又为方程的两个根，所以，即，又，所以.此时不等式变为，即，又因为，所以.所以所求不等式的解集为.方法二：由已知得且知.设方程的两根分别为，则，其中.所以不等式的解集为.题后感悟方法总结：(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知之间的关系；练4：已知不等式的解集为，求的解集答案：因为的解集为，所以是方程的两实根.由根与系数的关系得，解得.所以.则不等式的解集为.题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据解：由题意，对于甲车，有， 即.解得或 (舍去).这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速. 对于乙车，有，即.解得或 (舍去).这表明乙车的车速超过，超过规定限速. 题后感悟(1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；解不等式(或求函数最值)；回扣实际问题考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法：题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式（1）；（2）；（3）；（4）例1、（12重庆理）不等式的解集为（ ）A、B、C、D、练1：不等式的解集是 . 解析：. 练2：不等式的解集是 . 解析：.题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后的系数为正）.例2、解不等式：解：设，则的根分别是，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是.练3：（10全国）不等式的解集为（ ）A、B、C、D、练4：不等式的解集是 . 题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）（1）；（2）或.例3、解不等式.解：原不等式等价于：或：，解：，解：，即或，所以，则原不等式的解集为.练5：解不等式的解集.解：移项，则，所以原不等式的解集为.练6：解不等式（1）；（2）.解：（1）原不等式等价于：或：解：，解：，即：或，所以，则原不等式的解集为.（2）原不等式等价于，即或，所以原不等式的解集为.考点五：绝对值不等式的解法：（选修45）（1）；（2）；（3）；（4）.例1、（08四川文科）不等式的解集为（ ）A、B、C、D、解析：.练1：（04全国）不等式的解集为（ ）A、B、C、D、解析： .练2：（07广东）设函数，若，则的取值范围是 . 解析： 练3：（09山东）不等式的解集为 . 解析：.练4：若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.解：不等式对一切实数恒成立，由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到和的距离之和，那么对任意恒成立，显然，又，故，所以实数的取值范围是.考点六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等）题型一：通过加减项配凑成基本不等式：例1、已知，求的最小值以及取得最小值时的值.解：由，得，则.当且仅当时取“”号.于是或者（舍去）答：最小值是，取得最小值时的值为.练1：已知，求函数的最大值.解：由，得，由（当且仅当时，即时取“”），得，所以函数的最大值为.练2：求函数的最小值.解：令，则，因为，所以，故（当且仅当时，即取“”）.所以函数的最小值为.练3：求的最大值.解：令，则，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.题型二：“1”的变换：例2、已知，且，求的最小值.解：因为，所以，当且仅当，即时，的最小值为.练4：已知，则的最小值是 . 解析：由，且（当且仅当，即时取等），则的最小值为. 题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、若正数满足，则：（1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 . 解：（1）判别式法：令，则，代入原式得，整理得,，得或（舍）.（2）判别式法，令，则，代入原式得，整理得，解得或者（舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决.练5：若满足，则的最小值是 . 练6：若满足，则的最小值是 . 练7：（10重庆）已知满足，则的最小值是（ ）A、B、C、D、考点七：简单线性规划问题：题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量满足约束条件，求的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题：例2、设变量满足例1中的约束条件，求的取值范围.题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量满足例1中的约束条件，求的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量满足例1中的约束条件，且目标函数（其中）仅在处取得最大值，求的取值范围.题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量满足约束条件，且目标函数在处取得最大值，求，例7、已知满足不等式组，求使取得最大值的整数.解：不等式组的解集为三直线所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与的交点分别为，则的坐标分别为，作一组平行线平行于，当往右上方移动时，随之增大，所以当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取， 当时，代入原不等式组得，所以；当时，得或，所以或；当时，所以，故的最大整数解为或. 练习：线性规划问题综合练习练1：若满足约束条件，则的取值范围是（ ）A、B、C、D、练2：满足的点中整数（横纵坐标都是整数）有（ ）A、个B、个C、个D、个练3：已知满足约束条件，则的最大值和最小值分别是（ ）A、B、C、D、练4：不等式组表示的平面区域的面积为（ ）A、B、C、D、无穷大练5：已知满足约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为（ ）A、B、C、D、练6：已知表示的平面区域包含点和，则的取值范围是（ ）A、B、C、D、练7：满足线性约束条件的目标函数的最大值是（ ）A、B、C、D、练8：若实数满足不等式组，且的最大值为，则实数（ ）A、B、C、D、练9：已知实数满足，试求的最大值和最小值.解：由于.所以的几何意义是点与点连线的斜率，因此的最值就是点与点连线的斜率的最值，结合图像可知，直线的斜率最大，直线的斜率最小，即，此时；，此时.练10：设变量满足约束条件，则的最小值为 . 练11：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 . 或练12：已知平面区域由以，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 . 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