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周周回馈练(七)一、选择题1设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析极大值点不一定为最大值点，故A错；yf(x)与yf(x)关于y轴对称，故x0为f(x)的极大值点，B错；yf(x)与yf(x)关于x轴对称，故x0为f(x)的极小值点，x0不一定为f(x)的极小值点，C错；yf(x)与yf(x)关于原点对称，x0是f(x)的极小值点，故D对2函数f(x)sinx的图象大致是()答案C解析显然函数f(x)为奇函数，排除B.又f(x)cosx，可知f(x)有无数个零点，因此函数f(x)有无数个极值点，排除A.又当x是一个比较小的正数时，f(x)sinx0，排除D.故选C.3若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则有()Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4答案B解析f(x)3x22axb，依题意有x2和x4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，24，解得a3，b24.4函数f(x)x2cosx在区间上的最小值是()A B2 C. D.1答案A解析f(x)12sinx，x，sinx1,0，2sinx0,2f(x)12sinx0在上恒成立f(x)在上单调递增f(x)minf2cos.5函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a答案B解析f(x)3x23a，令f(x)0得x2a.x.又f(x)在(0,1)内有最小值，01，0a1.故选B.6若函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1 B.C. D.答案C解析函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，等价于f(x)1cos2xacosxcos2xacosx0在(，)恒成立设cosxt，则g(t)t2at0在1,1恒成立，所以解得a.故选C.二、填空题7做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即当R3时，S表最小8设p：f(x)ln x2x2mx1在(0，)上是递增的，q：m4，则p是q的_条件答案充要解析f(x)ln x2x2mx1在(0，)上是递增的，可知在(0，)上f(x)4xm0恒成立，而4x4，当且仅当x时等号成立，min4，故只需要4m0，即m4即可故p是q的充要条件9函数f(x)(x2)的最大值为_答案2解析f(x)，f(x)0，函数f(x)在2，)上单调递减，故当x2时，函数f(x)取得最大值2.三、解答题10设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函数yf(x)的单调区间解(1)因为f(x)x3ax29x1，所以f(x)3x22ax9329，即当x时，f(x)取得最小值9，所以912，即a29，解得a3，由题设a0，得x3；由f(x)0，得1x0)(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注：e为自然对数的底数解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae，由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立，只要解得ae.12已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x3，f(1)2，f(1)0.曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0Df(x)0，g(x)0时单调递增，所以x0；g(x)为偶函数且x0时单调递增，所以x0时单调递减，g(x)0.4函数f(x)x22cosx2的导函数f(x)的图象大致是()答案B解析f(x)x2sinx，显然是奇函数，排除A.而f(x)2cosx0有无穷多个根，函数f(x)有无穷多个单调区间，排除C、D，故选B.5若函数f(x)满足f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1答案A解析f(x)x22f(1)x1，所以f(1)12f(1)1，则f(1)0.6函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca2 Da6答案D解析f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，所以f(x)3x22axa60有两个不相等的实数根由(2a)243(a6)4(a23a18)0，解得a6.7若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()A2r2 Br2 C4r2 D.r2答案A解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2(2x)2(2r)2，又圆柱的侧面积S2xh，S2162(r2x2x4)，(S2)162(2r2x4x3)，令(S2)0，得xr(x0舍去)，Smax2r2.故选A.8若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1 处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，当且仅当ab时“”成立，所以ab的最大值为9，故选D.9函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)答案B解析f(x)3x2a.令3x2a0，则a3x2，x(1，)，a3.10函数f(x)ax3ax22ax1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即0，解得a.故选D.11定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1e x2f(x1)Be x1f(x2)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即e x2f(x1)12已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am Bm Cm Dm0，函数f(x)x3ax2bxc在区间2,2上单调递减，则4ab的最大值为_答案12解析f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，函数f(x)在区间2,2上单调递减，f(x)3x22axb0在2,2上恒成立a0，0，f(x)maxf(2)0，即4ab12，4ab的最大值为12.14若f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.答案解析f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1).15函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)7解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1，可得f(x)maxf(2)7，对x1,2，f(x)7.16如果函数f(x)x36bx3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是_答案解析存在与x轴平行的切线，即f(x)3x26b0有解又x(0,1)，b.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1与直线l：4xy10平行，且点P0在第三象限(1)求点P0的坐标；(2)若直线l2l1，且l2也过点P0，求直线l2的方程解(1)由yx3x2，得y3x21.令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线l2l1，l1的斜率为4，直线l2的斜率为.l2过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l2的方程为y4(x1)，即x4y170.18(本小题满分12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1万件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R(x)其中x是年产量(单位：万件)(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解(1)依题意有：W即W(2)设f(x)x38.1x10(0x10)，f(x)x28.1，由f(x)0，得x9或x9(舍去)当0x9时，f(x)0；当9x10时，f(x)0，所以当x9时，f(x)取得最大值38.6.当x10时，1.9x0，在(1,2)上f(x)0.故f(x)在(，1)，(2，)上递增，在(1,2)上递减因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01.(2)f(x)3ax22bxc，由f(1)0，f(2)0，f(1)5，可得解得a2，b9，c12.20(本小题满分12分)若函数f(x)ax22xln x在x1处取得极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)单调区间及极值解(1)f(x)2ax2，由f(1)2a0，得a.(2)f(x)x22xln x(x0)f(x)x2.由f(x)0，得x1或x2.当f(x)0时1x2；当f(x)0时0x2.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)ln 2因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，)函数的极小值为f(1)，极大值为f(2)ln 2.21(本小题满分12分)设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，当f(x)0，即xln a时，f(x)在(ln a，)上递增；当f(x)0，即xln a时，f(x)在(，ln a)上递减当0a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(ln a)2b；当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)内的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函数可得2b3，即b.故a，b.22(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方解(1)f(x)x2ln x，f(x)2x.x1时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，F(x)x2x2.x1，F(x)0.F(x)在(1，)上是减函数F(x)F(1)0.f(x)g(x)当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方- 12 -
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