2018-2019学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何练习 新人教A版选修2-1

第三章 空间向量与立体几何(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段AB的中点坐标和|是()A.，B.，C.，D.，解析：选A.设P(x，y，z)是AB中点，则()(3，2，1)(1，0，4)，dAB|.2直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则等于()Aabc BabcCabc D.abc解析：选D.如图，bac.3平面的法向量u(1，2，1)，平面的法向量v(2，2，8)，若，则的值是()A2 B2C2 D.不存在解析：选C.uvuv024802.4在空间四边形ABCD中，若向量(3，5，2)，(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D.(5，2，1)解析：选B.取AC中点M，连接ME，MF，则，所以(2，3，3)，故选B.5已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则()A1 B1C. D.解析：选B.如图所示，所以()22cos 601，故选B.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE垂直的直线是()AAC BBDCA1D D.A1A解析：选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)显然00，所以，即CEBD.7已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，则x，y的值为()Ax13，y8 Bx13，y5Cx7，y5 D.x7，y8解析：选A.因为ab且a0，所以ba，即(x1)m8n2yp3m2n4p.又因为m，n，p不共面，所以，所以x13，y8.8已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0C1 D.2解析：选C.由于()()，而，则()()()2(22)1.9已知直线l的方向向量为n(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为()A. B.C. D.2解析：选A.过P点作PHl于H点，则，由n，可设n(，0，2)所以(1，1，1)(，0，2)(1，1，21)，由n，得12(21)0，解得.所以.因此点P到l的距离为|，选A.10在四棱锥PABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，则这个四棱锥的高h()A1 B2C13 D.26解析：选B.设平面ABCD的法向量为n(x，y，z)，则，即，设y4，则n，所以cosn，所以h22，故选B.11.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则|2的值为()A. B3C. D.解析：选D.由题可知|1，|1，|.，45，45，60.所以|2()222221111.12三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足：，则直线PN与平面ABC所成角取最大值时的值为()A. B.C. D.解析：选A.如图，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则P(，0，1)，N，(，1)易得平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，则直线PN与平面ABC所成的角满足：sin |cos，n|，于是问题转化为二次函数求最值，而，所以当sin 最大时，最大所以当时，sin 最大，为，同时直线PN与平面ABC所成的角取到最大值二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则_解析：|cos，aacos 60a2.答案：a214在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_解析：设平面xOz的法向量为n(0，t，0)(t0)又(1，3，)，所以cosn，因为n，0，所以sinn， .答案：15点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则的取值范围是_解析：由题意知内切球的半径为1，设球心为O，则()()()|21.因为1|，所以0，4答案：0，416如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0，a，0)设点E的坐标为(a，0，z)，则(a，a，z)，(a，0，z3a)由，得2a2z23az0，解得za或2a，即AEa或2a.答案：a或2a三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60，N是CM的中点，设a，b，c，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长解：()().所以abc，|22(a2b2c22ab2ac2bc)，所以|，即BN的长为.18(本小题满分12分)四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N分别是PC、AB的中点，求证：MN平面PCD.证明：建立空间直角坐标系如图所示，设PAADa，ABb，则P(0，0，a)，D(0，a，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，N，M，所以，(b，0，0)，(b，a，a)，所以0，0，所以，即MNPC，MNDC，又因为PCDCC，MN平面PCD，所以MN平面PCD.19(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值解：(1)证明：在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosDAB，即BD24161612，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均为直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面ABD，所以ABDE.(2)由(1)知ABDCDB90，以D为坐标原点，DB，DC，DE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，2，0)，F(，0，1)，所以(2，2，0)，(0，0，2)，(，2，1)设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y.又z0，所以n(1，0)设直线AF与平面ADE所成的角为，则有sin |cosn，|.20(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一点，且DFGC，求的值解：(1)以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，4)因为cos，所以GE与PC所成角的余弦值为.(2)因为，所以D.设F(0，y，z)，则(0，y，z).因为，所以0，即(0，2，0)2y30，所以y.又点F在PC上，所以，即(0，2，4)，所以z1，故F，所以，所以3.21(本小题满分12分)在ABC中，AB4，AC4，BAC45，以AC的中线BD为折痕，将ABD沿BD折起，构成二面角ABDC，在平面BCD内作CECD，且CE，连接DE，AE，AC，如图所示(1)求证：CE平面ABD；(2)若二面角ABDC的大小为90，求二面角BACE的余弦值解：(1)证明：由AB4，AC4，BAC45，得BC4，所以ABC为等腰直角三角形，又D为AC的中点，所以BDAC.所以折起后BDCD.又CECD，所以CEBD，因为CE平面ABD，BD平面ABD，所以CE平面ABD.(2)由二面角ABDC的大小为90，ADBD，得AD平面BCD，由(1)知BDCD，于是以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设F为AC的中点，连接DF，则DFAC，且DF2.因为CECD，AD平面BCD，所以CE平面ACD，所以DFCE，所以DF平面ACE.易求得BDCDAD2，所以D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，F(0，)所以平面ACE的一个法向量为(0，)又(2，0，2)，(0，2，2)，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，所以xyz，取n(1，1，1)为平面ABC的一个法向量所以cosn，根据图形可知二面角BACE的余弦值为.22(本小题满分12分)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BADADC90，ABADCD1，PD.(1)若M为PA的中点，求证：AC平面MDE；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(3)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为？解：(1)证明：如图，在矩形PDCE中，设PC交DE于点N，则点N为PC的中点连接MN.在APC中，点M为PA的中点，点N为PC的中点，所以ACMN.又MN平面MDE，AC平面MDE，所以AC平面MDE.(2)由ADC90，得ADCD，由平面PDCE平面ABCD，且平面PDCE平面ABCDCD，得AD平面PDCE，所以ADPD.在矩形PDCE中，PDCD，则DA，DC, DP两两垂直以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，)，(1，1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则，取n(1，1，)设直线PA与平面PBC所成角为，则sin .所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.(3)假设存在点Q满足条件，则可设(01)，得Q(0，22，)又(1，0，0)，(0，22，)，设平面QAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则由，令y1，则n1(0，22)由平面QAD与平面PBC所成的锐二面角为，得cos ，所以或1(舍去)，所以所求点Q为线段CP上靠近点C的一个三等分点，即在线段PC上存在点Q满足条件12