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名师精编优秀资料函数及基本性质一、 函数的概念（1）设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应， 那么这样的对应 （包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB（2）函数的三要素: 定义域、值域和对应法则注意 1： 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数例 1判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）3)5)(3(1xxxy，52xy；111xxy，) 1)(1(2xxy；xxf)(，2)(xxg；343( )f xxx，3( )1F xx x；21)52()(xxf，52)(2xxf。A、B、CD、2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数如：943)(2xxxf，Rx( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数如：635xxf，2x( )f x是偶次根式时， 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合如1432xxxf，131xx或对数函数的真数大于零0,log)(xxxfa，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。如：212( )log25f xxxtanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零如：2)32()(xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀资料若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集如：)2(log22xy对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数( )f g x的定义域应由不等式( )ag xb解出如：xfxf28,2，的定义域是的定义域为822x对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论例：求函数)1lg(lgxkxxf的定义域。有实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义例2.函数0(1)xyxx的定义域是 _ 例3.求11122xxxy的定义域例4.考点 3：求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。事实上， 如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同。求函数值域与最值的常用方法：观察法： 对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值“直线类、反比例函数类”。一次函数的值域：R 反比例函数：0/ yy配方法： 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。“二次函数”用配方法求值域；例 5：求函数562xxy的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀资料判别式法：行如不同时为零2122221121,aacxbxacxbxay的函数用判别式法求值域。例 6：求函数xxy1的值域。不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值（一正二定三相等）。换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。行如：xfy1的函数，可令txf；行如)0(acdcxbaxy的函数， 可令dcxt；行如22xay的函数，可令, 0,cosax或令2,2,sinax例 7：求函数xxy142的值域。反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值。形如0abaxdcxy的函数用反函数法求值域。例 8：求213xxy的值域。数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。函数的单调性法。例 9：求函数41xxy的值域。法一（数形结合法）：法二（单调性）：练习 1 求下列函数的值域（1）xxy43（2）34252xxy（3）xxy21例 10 已知函数2( )23(0)f xaxaxb a在1,3有最大值5和最小值2，求a、b的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀资料练习2 设,是方程24420,()xmxmxR的两实根 , 当m为何值时 ,22有最小值 ?求出这个最小值. （3）函数的表示法：解析法（用数学表达式表示两个变量间的对应关系）、列表法（列出表格来表示两个变量间的对应关系）、图像法（用图像来表示两个变量间的对应关系）二、函数的基本性质（1）函数的单调性定义：函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数（1）利用定义（2） 利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数（1）利用定义（2） 利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数 判别方法： a.定义法：x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2oy=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀资料例 11： 已知函数( )yf x的定义域为R， 且对任意,a bR， 都有()( )( )f abf af b，且当0 x时，( )0f x恒成立，证明：（1）函数( )yf x是R上的减函数；（2）函数( )yfx是奇函数。b.性质法：“)( 为常数与ccxfxf有相同单调性 ”“)( 为常数与cxcfxf当 c0 时具有相同的单调性，当c0 时具有相反的单调性”“增 +增=增，减 +减=减，增 -减 =增，减 -增=减”“当xgxf、都是增（减）函数，则xgxf当两者都恒大于0 时也是增（减）函数，当两者都恒小于0 时也是减（增）函数”C.“同增异减 ”:对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则( )yf g x为增；若( )yf u为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则( )yf g x为减例 12：求函数222xxxf的单调区间。例 13：已知函数aaxxxf3log22在区间, 2上是增函数，求a 的取值范围。 打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质( )f x分别在(,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（2）最大（小）值定义一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有( )f xM；yxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀资料（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数( )f x的最大值，记作max( )fxM一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xm；（ 2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数 f(x) 叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数 f(x)叫做 偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）注意： 若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数“偶偶=偶，奇奇=奇，偶偶=偶，偶偶=偶，奇奇=奇，奇奇=奇，偶奇=奇，偶奇=奇”例 14：设a为实数，函数1|)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀资料（ 2）求)(xf的最小值。例 15：设函数( )f x与( )g x的定义域是xR且1x,( )fx是偶函数 , ( )g x是奇函数 ,且1( )( )1f xg xx,求( )f x和( )g x的解析式 . 三、函数的图像（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位伸缩变换01,1,( )()yf xyfx伸缩01,1,( )( )AAyf xyAfx缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )y xyf xyfx直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀资料( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyf xyfx保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2联想点（ x,y）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y）,(2a-x,0)（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性， 它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法。例 16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
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