2022年最新北师大版七年级数学下第一章整式的乘除教案

1 11同底数幂的乘法1理解并掌握同底数幂的乘法法则；(重点 )2运用同底数幂的乘法法则进行相关运算(难点 )一、情境导入问题： 2015 年 9 月 24 日，美国国家航空航天局(下简称： NASA) 对外宣称将有重大发现宣布，可能发现除地球外适合人类居住的星球，一时间引起了人们的广泛关注早在 2014 年，NASA 就发现一颗行星，这颗行星是第一颗在太阳系外恒星旁发现的适居带内、半径与地球相若的系外行星，这颗行星环绕红矮星开普勒 186，距离地球492 光年 .1 光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3 105km/s.问：这颗行星距离地球多远(1 年 3.1536 107s)?31053.153610749233.15364.921051071024.654713610105107102.问题：“ 10105107102”等于多少呢？二、合作探究探究点：同底数幂的乘法【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法计算： (1)23242；(2)a3 (a)2 (a)3；(3)mn1mnm2m.解析： (1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(2)先算乘方， 再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； (3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可解： (1)原式 234128；(2)原式 a3a2(a3)a3a2a3a8；(3)原式 mn1n21a2n4.方法总结： 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；单个字母或数可以看成指数为1 的幂，进行运算时，不能忽略了幂指数1.【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法计算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页2 (1)(2ab)2n1(2a b)3(2ab)n4；(2)(xy)2(yx)5.解析： 将底数看成一个整体进行计算解： (1)原式 (2ab)(2n1)3(n4)(2ab)3n；(2)原式 (xy)2(xy)5 (xy)7.方 法 总 结 ： 底 数 互 为 相 反 数 的 幂 相 乘 时 ， 先 把 底 数 统 一 ， 再 进 行 计 算 (a b)n（ba）n（n为偶数），（ ba）n（n为奇数） .【类型三】运用同底数幂的乘法求代数式的值若 82a38b2810，求 2ab 的值解析： 根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a、b 的关系，根据a、b 的关系求解解： 82a38b282a3b2810， 2a3b210，解得 2a b9.方法总结： 将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同变式训练： 本课时练习第6 题【类型四】同底数幂的乘法法则的逆用已知 am 3，an 21，求 amn的值解析： 把 amn变成 aman，代入求值即可解： am3，an21， amnaman 321 63.方法总结： 逆用同底数幂的乘法法则把amn变成 aman.变式训练： 本课时练习第9 题三、板书设计1同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加即 am anamn(m，n 都是正整数 )2同底数幂的乘法法则的运用在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页3 12幂的乘方与积的乘方第 1 课时幂的乘方1理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；(重点 )2掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用(难点 )一、情境导入1填空：(1)同底数幂相乘，_不变，指数 _；(2)a2a3_；10m10n_；(3)(3)7(3)6_；(4)a a2a3_；(5)(23)2 23 23_；(x4)5x4x4x4x4x4_2计算 (22)3；(24)3； (102)3.问题： (1)上述几道题目有什么共同特点？(2)观察计算结果，你能发现什么规律？(3)你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试二、合作探究探究点一：幂的乘方计算：(1)(a3)4; (2)(xm1)2；(3)(24)33; (4)( mn)34.解析： 直接运用 (am)namn计算即可解： (1)(a3)4a34a12；(2)(xm1)2 x2(m1)x2m2；(3)(24)332433236；(4)( mn)34(m n)12.方法总结： 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式变式训练： 本课时练习第4 题探究点二：幂的乘方的逆用【类型一】逆用幂的乘方比较数的大小请看下面的解题过程：比较2100与 375的大小解： 2100(24)25，375(33)25，又 2416，3327，1627， 2100375.请你根据上面的解题过程，比较3100与 560的大小，并总结本题的解题方法解析： 首先理解题意，然后可得3100(35)20，560(53)20，再比较35与 53的大小，即可求得答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4 解： 3100(35)20，560(53)20，又 35243，53125，243125，即 35 53， 3100 560.方法总结： 此题考查了幂的乘方的性质的应用注意理解题意，根据题意得到3100(35)20，560(53)20是解此题的关键变式训练： 本课时练习第7 题【类型二】逆用幂的乘方求代数式的值已知 2x5y3 0，求 4x32y的值解析： 由 2x5y30 得 2x5y3，再把 4x32y统一为底数为2 的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果解： 2x 5y3 0， 2x5y3， 4x32y22x25y22x5y238.方法总结： 本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键【类型三】逆用幂的乘方结合方程思想求值已知 2218y1，9y3x9，则代数式13x12y 的值为 _解析：由 2218y1，9y3x9得 22123(y1)，32y3x9，则 213(y1)，2yx9，解得 x21，y 6，故代数式13x12y7310.故答案为 10.方法总结： 根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x 和 y 的方程组，求出x、y，再计算代数式变式训练： 本课时练习第6 题三、板书设计1幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘即(am)n amn(m，n 都是正整数 )2幂的乘方的运用幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页5 12幂的乘方与积的乘方第 2 课时积的乘方1掌握积的乘方的运算法则；(重点 )2掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用(难点 )一、情境导入1教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘2肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式 积的乘方二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算计算： (1)(5ab)3; (2)(3x2y)2；(3)(43ab2c3)3; (4)( xmy3m)2.解析： 直接运用积的乘方法则计算即可解： (1)(5ab)3(5)3a3b3 125a3b3；(2)(3x2y)2 32x4y2 9x4y2；(3)(43ab2c3)3(43)3a3b6c96427a3b6c9；(4)(xmy3m)2(1)2x2my6mx2my6m.方法总结： 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方变式训练： 本课时练习第7 题【类型二】含积的乘方的混合运算计算：(1)(2a2)3a3(4a)2a7(5a3)3；(2)(a3b6)2 (a2b4)3.解析： (1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并解： (1)原式 8a6a316a2a7125a9 8a916a9125a9 117a9；(2)原式 a6b12a6b120.方法总结： 先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项变式训练： 本课时练习第7 题(3)【类型三】积的乘方的实际应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V、R 分别代表球的体积和半径，那么V43 R3，太阳的半径约为6105千米，它的体积大约是多少立方千米(取 3)?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页6 解析： 将 R6105千米代入 V43 R3，即可求得答案解： R6105千米， V43R3433 (6 105)38.641017(立方千米 )答：它的体积大约是8.641017立方千米方法总结： 读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键探究点二：积的乘方的逆用【类型一】逆用积的乘方进行简便运算计算： (23)2014(32)2015.解析： 将 (32)2015转化为 (32)201432，再逆用积的乘方公式进行计算解： 原式 (23)2014(32)201432(2332)20143232.方法总结： 对公式 anbn(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算变式训练： 本课时练习第7 题(2)【类型二】逆用积的乘方比较数的大小试比较大小：213310与 210 312.解： 21331023 (23)10，21031232 (2 3)10，又 2332， 213 310210 312.方法总结： 利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键三、板书设计1积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积即(ab)n anbn(n 是正整数 )2积的乘方的运用在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：anbn(ab)n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n 为奇数时， (a)n an(n 为正整数 )；当 n 为偶数时， ( a)nan(n 为正整数 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页7 13同底数幂的除法第 1 课时同底数幂的除法1理解并掌握同底数幂的除法运算并能运用其解决实际问题；(重点 )2理解并掌握零次幂和负指数幂的运算性质(难点 )一、情境导入一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1 滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌要将1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？二、合作探究探究点一：同底数幂的除法【类型一】直接运用同底数幂的除法进行运算计算：(1)(xy)13( xy)8；(2)(x2y)3(2yx)2；(3)(a21)7(a21)4(a21)2.解析： 利用同底数幂的除法法则即可进行计算，其中(1)应把 (xy)看作一个整体；(2)把(x2y)看作一个整体， 2yx (x2y)；(3)把(a21)看作一个整体解： (1)(xy)13(xy)8(xy)138(xy)5 x5y5；(2)(x2y)3(2yx)2(x2y)3(x2y)2x2y；(3)(a21)7(a21)4(a21)2(a21)742(a21)1a21.方法总结： 计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或可变形为相同，再根据法则计算变式训练： 本课时练习第3 题【类型二】逆用同底数幂的除法进行计算已知 am 4，an 2，a3，求 amn1的值解析： 先逆用同底数幂的除法，对amn1进行变形，再代入数值进行计算解： am4，an2，a3， amn1amana42323.方法总结： 解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出amn1amana.变式训练： 本课时练习第7 题【类型三】同底数幂除法的实际应用声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50 分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是 100 分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150 分贝，求：(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用 “同底数幂相除， 底数不变， 指数相减 ”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案解： (1)因为 101010510105105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；(2)因为人的声音是50 分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100 分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150 分贝，其声音的强度为1015，所以 10151010101510 105，所以喷气式飞机精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页8 声音的强度是汽车声音的强度的105倍方法总结： 本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键变式训练： 本课时练习第4 题探究点二：零指数幂和负整数指数幂【类型一】零指数幂若(x6)01 成立，则x 的取值范围是()Ax 6 Bx6Cx 6 Dx6解析： (x 6)01 成立， x60，解得 x6.故选 C.方法总结： 本题考查的是0 指数幂成立的条件，非0 的数的 0 次幂等于1，注意 0 指数幂的底数不能为 0.变式训练： 本课时练习第5 题【类型二】比较数的大小若 a(23)2， b(1)1，c (32)0，则 a、b、c 的大小关系是()Aa bcBa cbCc abDb ca方法总结： 本题的关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小当底数是分数，指数为负整数时，只要把底数的分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数【类型三】零指数幂与负整数指数幂中底数的取值范围若(x3)02(3x6)2有意义，则x 的取值范围是()Ax 3 Bx3 且 x2Cx 3 或 x2 Dx2方法总结： 任意非 0 的数的 0 次幂为 1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0.【类型四】含整数指数幂、零指数幂与绝对值的混合运算计算： 22(12)2(2015 )0|22|.解析： 分别根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算解： 22(12)2(2015 )0|22| 4412221.方法总结： 熟练掌握有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键三、板书设计1同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减2零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即 a01(a0)3负整数次幂：任何一个不等于零的数的p(p 是正整数 )次幂，等于这个数p 次幂的倒数即ap1ap(a0，p 是正整数 )从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 13同底数幂的除法第 2 课时用科学记数法表示较小的数1理解并掌握科学记数法表示小于1 的数的方法；(重点 )2能将用科学记数法表示的数还原为原数一、情境导入同底数幂的除法公式为amanamn，有一个附加条件：mn，即被除数的指数大于除数的指数当被除数的指数不大于除数的指数，即mn 或 mn 时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1 的数2014 年 6 月 18 日中商网报道，一种重量为0.000106 千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106 用科学记数法可表示为()A1.06104B1.06105C10.6105D106106解析： 0.0001061.06104.故选 A.方法总结： 绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a10n，其中 1a10，n 为正整数与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的 0 的个数所决定变式训练： 本课时练习第2 题【类型二】将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数：(1)2107; (2)3.14105；(3)7.08103; (4)2.17101.解析： 小数点向左移动相应的位数即可解： (1)2107 0.0000002； (2)3.141050.0000314；(3)7.081030.00708；(4)2.171010.217.方法总结： 将科学记数法表示的数a10n还原成通常表示的数，就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数变式训练： 本课时练习第6 题三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1 的数：一般地，一个小于1 的正数可以表示为a10n，其中 1a10，n 是负整数从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页10 14整式的乘法第 1 课时单项式与单项式相乘1复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；(重点 )2能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题(难点 )一、情境导入根据乘法的运算律计算：(1)2x3 y；(2)5a2b (2ab2)解： (1)2x3 y(23)(x y)6xy；(2)5a2b (2ab2)5(2) (a2a) (b b2) 10a3b3.观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？二、合作探究探究点：单项式与单项式相乘【类型一】直接利用单项式乘以单项式法则进行计算计算：(1)(23a2b) 56ac2；(2)(12x2y)33xy2(2xy2)2；(3)6m2n(xy)313mn2(yx)2.解析： 运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可解： (1)(23a2b) 56ac22356a3bc259a3bc2；(2)(12x2y)33xy2(2xy2)218x6y33xy24x2y432x9y9；(3)6m2n(xy)313mn2(yx)2 613m3n3(xy)5 2m3n3(xy)5.方法总结： (1)在计算时， 应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立变式训练： 本课时练习第7 题【类型二】单项式乘以单项式与同类项的综合已知 2x3m1y2n与 7x5m3y5n4的积与 x4y 是同类项，求m2 n 的值解析： 根据 2x3m1y2n与 7x5m3y5n4的积与 x4y 是同类项可得出关于m，n 的方程组，进而求出m，n的值，即可得出答案解： 2x3m1y2n与 7x5m3y5n4的积与x4y 是同类项，3m 15m3 4，2n5n 41，解得m34，n57，m2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页11 143112.方法总结： 掌握单项式乘以单项式的运算法则，再结合同类项，列出二元一次方程组是解题关键变式训练： 本课时练习第5 题【类型三】单项式乘以单项式的实际应用有一块长为xm，宽为 ym 的长方形空地， 现在要在这块地中规划一块长35xm，宽34ym 的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积解析： 先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积解： 长方形的面积是xym2，绿化的面积是35x34y920 xy(m2)，则剩下的面积是xy920 xy1120 xy(m2)方法总结： 掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键变式训练： 本课时练习第7 题三、板书设计1单项式乘以单项式的运算法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2单项式乘以单项式的应用本课时的重点是让学生理解单项式的乘法法则并能熟练应用要求学生在乘法的运算律以及幂的运算律的基础上进行探究教师在课堂上应该处于引导位置，鼓励学生“试一试”，学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用该知识点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页12 14整式的乘法第 2 课时单项式与多项式相乘1能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；2掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用(重点，难点 )一、情境导入计算： (12) (121314)我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算，那么怎样计算2x (3x22x1)呢？二、合作探究探究点：单项式乘以多项式【类型一】直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算：(1)(23ab22ab) 12ab；(2)2x(12x2y3y 1)解析： 利用单项式乘以多项式法则计算即可解： (1)(23ab22ab) 12ab23ab212ab2ab12ab13a2b3a2b2；(2)2x(12x2y3y 1) 2x12x2y(2x) 3y( 2x) (1) x3y(6xy)2x x3y6xy2x.方法总结： 单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加变式训练： 本课时练习第9 题【类型二】单项式与多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽 (a2b)米，坝高12a 米(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100 米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析： (1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积梯形面积 坝长解： (1)防洪堤坝的横断面面积S12a(a2b)12a14a(2a2b)12a212ab(平方米 )故防洪堤坝的横断面面积为(12a212ab)平方米；(2)堤坝的体积VSl(12a212ab) 10050a250ab(立方米 )故这段防洪堤坝的体积是(50a2 50ab)立方米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页13 方法总结： 本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积梯形面积长度 )的计算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键变式训练： 本课时练习第9 题【类型三】利用单项式乘以多项式化简求值先化简，再求值：5a(2a25a 3) 2a2(5a5)7a2，其中 a2.解析： 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可解： 5a(2a25a3)2a2(5a5)7a210a325a2 15a 10a310a27a2 28a215a，当a2时，原式82.方法总结： 本题考查了整式的化简求值在计算时要注意先化简然后再代值计算整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项变式训练： 本课时练习第10 题三、板书设计1单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加2单项式与多项式乘法的应用本节课在已学过的单项式乘以单项式的基础上，学习单项式乘以多项式教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高解题水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页14 14整式的乘法第 3 课时多项式与多项式相乘1理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点 )2掌握多项式与多项式的乘法法则的应用(难点 )一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m 米、宽 a 米的长方形林区的长、宽分别增加n 米和 b 米用两种方法表示这块林区现在的面积学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m n)米，宽为 (ab)米，因而面积为(mn)(ab)平方米另外，如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma 平方米， mb 平方米、 na 平方米， nb 平方米，故这块地的面积为(mambnanb)平方米由此可得 (mn)(ab)mambnanb.今天我们就学习多项式乘以多项式二、合作探究探究点一：多项式与多项式相乘【类型一】直接利用多项式乘多项式法则进行计算计算：(1)(3x2)(x2)；(2)(4y1)(5y)解析： 利用多项式乘以多项式法则计算，即可得到结果解： (1)原式 3x2 6x2x43x28x4；(2)原式 20y 4y25y 4y221y5.方法总结： 多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积变式训练： 本课时练习第7 题(1)(2)(3)【类型二】多项式乘以多项式的混合运算计算： (3a1)(2a 3)(6a5)(a4)解析： 根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可解： (3a1)(2a 3) (6a5)(a4) 6a29a2a36a224a5a2022a23.方法总结： 在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号变式训练： 本课时练习第7 题(4)探究点二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页15 【类型一】多项式乘以多项式的化简求值先化简，再求值：(a2b)(a22ab4b2)a(a5b)(a3b)，其中 a 1，b1.解析： 先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算解： (a2b)(a22ab4b2)a(a5b)(a3b) a38b3(a25ab)(a3b)a38b3a33a2b 5a2b15ab2 8b32a2b15ab2.当 a 1，b1 时，原式 82 15 21.方法总结： 化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算变式训练： 本课时练习第8 题【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合解方程： (x3)(x2) (x9)(x 1)4.解析： 方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项、 合并同类项， 将 x 系数化为1，即可求出解解： 去括号后得x25x 6x210 x94，移项、合并同类项得15x7，解得 x715.方法总结： 解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答【类型三】多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3ab)米，宽为 (2a b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分 )，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a3，b 2 时的绿化面积解析： 根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的差，可得答案解： 由题意，得 (3ab)(2ab)(a b)26a25ab b2a22abb25a2 3ab(平方米 )当a3，b2 时， 5a23ab5323 3263(平方米 )，故绿化的面积是63 平方米方法总结： 掌握长方形的面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键变式训练： 本课时练习第9 题【类型四】根据多项式乘以多项式求待定系数的值已知 ax2bx1(a0)与 3x 2的积不含x2项，也不含x 项，求系数a、b 的值解： (ax2bx1)(3x2)3ax32ax23bx22bx3x2.积不含x2项，也不含x 项， 2a3b0， 2b3 0，解得 b32，a94，系数 a、b 的值分别是94，32.方法总结： 解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答变式训练： 本课时练习第3 题三、板书设计1多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加2多项式与多项式乘法的应用本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页16 15平方差公式1掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点 )2掌握平方差公式的应用(重点 )一、情境导入1教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则学生积极举手回答多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加2教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘 平方差公式二、合作探究探究点：平方差公式【类型一】直接运用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x5)(3x5)；(2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)；(4)(x2)(x2)(x24)解析： 直接利用平方差公式进行计算即可解： (1)(3x5)(3x5)(3x)2529x225；(2)(2ab)(b2a)(2a)2b2 4a2b2；(3)(7m8n)(8n7m) (7m)2 (8n)249m264n2；(4)(x2)(x2)(x24)(x24)(x24)x416.方法总结： 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式变式训练： 本课时练习第7 题【类型二】利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式计算：(1)20131923；(2)13.212.8.解析： (1)把 20131923写成 (2013)(2013)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把 13.212.8 写成 (130.2)(130.2)，然后利用平方差公式进行计算解： (1)20131923(2013)(2013)202 (13)24001939989；(2)13.212.8 (130.2)(130.2)132 0.22 1690.04168.96.方法总结： 熟记平方差公式的结构是解题的关键变式训练： 本课时练习第12 题【类型三】化简求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页17 先化简，再求值：(2xy)(y 2x)(2yx)(2yx)，其中 x 1，y2.解析： 利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y 的值代入进行计算即可得解解： (2xy)(y2x) (2yx)(2yx)4x2y2(4y2 x2)4x2 y24y2x25x25y2.当 x1，y2时，原式 512522 15.方法总结： 利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算变式训练： 本课时练习第8 题【类型四】平方差公式的几何背景如图， 在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形 (ab)，把剩下部分拼成一个梯形(如图 )，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是_解析： 图中阴影部分的面积是a2 b2，图 中梯形的面积是12(2a2b)(ab)(ab)(ab)， a2b2(ab)(ab)，即可验证的乘法公式为(ab)(ab)a2b2.方法总结： 通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释变式训练： 本课时练习第8 题【类型五】平方差公式的实际应用王大伯家把一块边长为a 米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4 米，另外一边增加4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解析： 根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可解： 李大妈吃亏了理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a4)(a 4) a216.a2a216，李大妈吃亏了方法总结： 解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题变式训练： 本课时练习第4 题三、板书设计1平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差即(ab)(ab)a2b2.2平方差公式的应用学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页18 16完全平方公式1会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；(重点 )2灵活运用完全平方公式进行计算(难点 )一、情境导入计算：(1)(x1)2; (2)(x1)2；(3)(ab)2; (4)(ab)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5a)2；(2)(3m4n)2；(3)(3ab)2.解析： 直接运用完全平方公式进行计算即可解： (1)(5a)225 10aa2；(2)(3m4n)29m224mn16n2；(3)(3ab)2 9a26abb2.方法总结： 完全平方公式：(a b)2a22abb2.可巧记为 “首平方，末平方，首末两倍中间放”变式训练： 本课时练习【类型二】利用完全平方公式求字母的值如果 36x2 (m1)xy25y2是一个完全平方式，求m 的值解析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值解： 36x2 (m1)xy25y2(6x)2 (m1)xy(5y)2， (m1)xy26x5 y， m 160 ， m59 或 61.方法总结： 两数的平方和加上或减去它们积的2 倍， 就构成了一个完全平方式注意积的2 倍的符号，避免漏解变式训练： 见本课时练习【类型三】灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值若(xy)29，且 (xy)21.(1)求1x21y2的值；(2)求(x21)(y21)的值解析： (1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案解： (1)(xy)29，(xy)21， x22xyy29， x22xyy21， 4xy918， xy2，1x21y2x2y2x2y2（x y）22xyx2y29222254；(2)(xy)29，xy2， (x21)(y2 1)x2y2 y2 x21x2y2(xy)22xy 1229221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页19 10.方法总结： 所求的展开式中都含有xy 或 xy 时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解变式训练： 见课后【类型四】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图甲可以用来解释(a b)2(ab)24ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是 ()Aa2b2(ab)(ab)B(ab)(a2b)a2ab2b2C(ab)2a2 2abb2D(ab)2a2 2ab b2解析： 空白部分的面积为(ab)2，还可以表示为a2 2abb2，所以此等式是(ab)2a22abb2.故选 C.方法总结： 通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释变式训练： 见本课时练习【类型五】与完全平方公式有关的探究问题下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(ab)n(n 为正整数 )展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(ab)6展开式中所缺的系数(ab)1 ab，(ab)2 a2 2abb2，(ab)3 a3 3a2b3ab2b3，则(ab)6a66a5b15a4b2_a3b315a2b46ab5b6.变式训练： 本课时练习第9 题三、板书设计1完全平方公式：两个数的和 (或差 )的平方，等于这两个数的平方和加(或减 )这两个数乘积的2 倍(ab)2 a2 2abb2；(ab)2a22abb2.2完全平方公式的应用本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误： (a b)2a2b2，(ab)2a2b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页20 17整式的除法第 1 课时单项式除以单项式1复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律；2能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题(重点，难点 )一、情境导入填空：(1)am an_；(2)(am)n_；(3)amn an _；(4)amnan _我们已经学习了单项式乘以单项式的运算，今天我们将要学习它的逆运算二、合作探究探究点：单项式除以单项式【类型一】直接用单项式除以单项式进行计算计算：(1)x5y13(xy8)；(2)48a6b5c(24ab4) (56a5b2)解析： (1)可直接运用单项式除以单项式的运算法则进行计算；(2)运算顺序与有理数的运算顺序相同解： (1)x5y13( xy8)x51 y138x4y5；(2)48a6b5c(24ab4) (56a5b2) (48) 24(56)a615b542c53a10b3c.方法总结： 计算单项式除以单项式时应注意商的系数等于被除式的系数除以除式的系数，同时还要注意系数的符号；整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同变式训练： 本课时练习第10 题【类型二】已知整式除法的恒等式，求字母的值若 a(xmy4)3(3x2yn)24x2y2，求 a、m、n 的值解析： 利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可解： a(xmy4)3(3x2yn)24x2y2， ax3my129x4y2n4x2y2， a94，3m42，122n2，解得a36，m 2，n5.方法总结： 熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键【类型三】整式除法的实际应用光的速度约为3108米/秒，一颗人造地球卫星的速度是8103米/秒，则光的速度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？解析： 要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转化为单项式相除问题解： (3108) (8 103)(3 8) (108103)3.75104.答：光速是这颗人造地球卫星速度的3.75104倍方法总结： 解整式除法的实际应用题时，应分清何为除式，何为被除式，然后应当单项式除以单项式法则计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页21 变式训练： 本课时练习第11 题三、板书设计1单项式除以单项式的运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式2单项式除以单项式的应用在教学过程中，通过生活中的情景导入，引导学生根据单项式乘以单项式的乘法运算推导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页22 17整式的除法第 2 课时多项式除以单项式1复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律；2能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题(重点，难点 )一、情境导入1计算：(1)6x3y4z2(23x2y2)；(2)9mn( 6mn)2(13n2)；(3)6(ab)3c535(a b)2c 2(ab)3c42m(a bc)ambmcm，(ambmcm) mam mbm mcm mabc.你能根据多项式乘以单项式的运算归纳出多项式除以单项式的运算法则吗？二、合作探究探究点：多项式除以单项式【类型一】直接利用多项式除以单项式进行计算计算： (72x3y436x2y39xy2) (9xy2)解析： 根据多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加解： 原式 72x3y4(9xy2)(36x2y3) (9xy2)9xy2(9xy2) 8x2y24xy1.方法总结： 多项式除以单项式， 先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加变式训练： 本课时练习第12 题【类型二】逆用多项式除以单项式求解已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x21，余式是3x2，请求出这个多项式解析： 根据被除式、除式、商式、余式之间的关系解答解： 根据题意得2x2(2x21)3x24x42x23x2，则这个多项式为4x42x2 3x2.方法总结： “被除式商 除式余式 ” 是解题的关键【类型三】运用多项式除以单项式化简求值先化简，后求值：2x(x2yxy2)xy(xyx2) x2y，其中 x2015，y2014.三、板书设计1多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加2多项式除以单项式的应用在教学过程中，通过类比单项式除以单项式的学习，引导学生归纳出多项式除以单项式的运算法则，通过练习加深学生的理解，并及时反馈信息教师可引导学生解决问题，培养学生的思维能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页