2022年有理-数-总-复-习知识点讲解

名师精编优秀资料有 理 数 总 复 习-知识点、考点一、有理数的基本概念1.负数数的分类与范围扩展- 解释为什么会产生负数：相反量的出现，方便表示、书写、计算正负数的规定性及由规定性产生的正数、0、负数分类法、大小关系。带“ -”的不一定是负数，可能为正，亦可能为0。理解 0 的含义: 既可表示生活、生产、计算中没有了、不存在，当然也可表示一种状态， 比如温度 0 度表示不是没有温度而是温度客观存在的一种状态。再比如规定往什么方向前进、水位的变化，此时0表示在原地没动或没有变化。正数、负数在表示一对相反量时有习惯的约定性，比如水位上升0.1 米记作 +0.1 米，水位没有变化记作0 米。水位下降 0.1 米，记作-0.1米。这就是人们习惯上升这种正向思维，“+”表示上升、“- ”表示下降。正数、负数在表示一对相反量时还有临时的约定性，比如还以水位变化为例。水位上升0.1 米记作-0.1米，水位没有变化记作0 米。水位下降 0.1 米，记作 +0.1 米。这样表示不是不可以，这样表示的话正负数也表达了相反，但不符合人们的思维习惯，总感觉别扭。不过有些情况下约定性不是习惯性的、固定的，比如站在某点要往相反的两个方向作不同的运动，比如向西与向东，这两个方向往东、往西可选定其中任何一个方向距始发点某点的运动距离为正，相对应的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师精编优秀资料另一方向的运动距离为负， 切忌两个方向的运动距离同时记为正或同时记为负。比如向东5 米记为+5 米，向西 2 米需记为 -2 米。当然也可把向东 5 米记为 -5 米，向西 2 米需记为 +2米。双重相反关系的转化问题，比如水位上升记作+, 水位下降 -2 米是什么意思呢？表示的并不是下降2 米后又紧接着降 2 米，表示的是往下降的相方向变化 2 米， 那下降的相方向变化是什么？不就是上升吗？所以，水位下降 -2 米就记作 +2米。相反量关系规定后， 在表记之后的语言描述上注意用正方向词汇统一描述，避免双重相反关系的误出现。 比如水位上升 0.1 米记作 +0.1米，水位下降 0.1 米，记作 -0.1 米。语言描述上 +0.1 米的描述为上升+0.1 米； -0.1 米的描述为上升 -0.1 米， 千万别描述成下降 -0.1 米。因为-0.1 米“-”已表示下降了。 根据上面双重相反关系的转化问题，你可以懂得。用正负数表示相反意义的量必须带单位且相同意义的单位，没有单位就无意义，更不可能表达一对相反的量。比如+2 米与-5 之间毫无关系。 +2 米与-5 也毫无关系。 +2 米与-5 米、+2 米与-5 厘米均表达相反意义的量。2.有理数关于正数、 0、负数的规定的范围的理解正数、0、负数实际上就是实数范围内的正实数、0、负实数的简单说法。实数与有理数的关系：有理数是实数的两大组成部分之一。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师精编优秀资料负有理数 +负无理数 +0+正有理数 +正无理数 =实数。可以用这样一个等式直观理解但实际上不存在这样也个等式。其中负有理数、 0、正无理数构成有理数，这些数的特征是要么是正数或可以转成正数，比如 4、4，要么是分数或可以转化为分数，比如21，0.2 ，0.333333。这些特征统一起来说，有理数要么是正数、 要么可以是有限小数要么是无限循环小数（都可以化成分数）。这样就有以下三个等式可理解有理数; 正有理数 +0+负有理数 =有理数整数+分数=有理数整数+有限小数 +无限循环小数 =有理数最前面的那个等式可演变出非负有理数 +负有理数 =有理数非正有理数 +正有理数 =有理数两个等式。从以上分析看， 无理数也是实数的两个重要组成部分之一，但不包括“0”. 0 属于有理数。按正负性有理数可细分为负有理数、0、正有理数三部分；无理数可细分为负无理数、正无理数两部分。3.数轴数轴的定义、画法及三要素（原点、正方向、单位长度）注意：数轴是一条直线， 但直线不是数轴的三要素之一。原则上原点处在直线画出部分的中间 （注意不是中点， 直线长度不可度量就没有中点，也就是说处处可选为中点） 当表示的正负数两方绝对值最大的相近时，原点适中一些；当所要表示的负数绝对值大些，原点选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师精编优秀资料择偏右些；当所要表示的正数绝对值大些，原点选择偏左些；右方向表示正方向的箭头莫忘标喽。单位长度要视情况而定， 表示的数字要密集了， 单位长度适当大点。但要注意不论单位长度是大点还是小点要均匀。表示单位长度的点不要大点，要稍粗的短点，一般来说标识单位长度的数据居于数轴下方，被表示的数标于数轴上方。做作业画图（包括画数轴）、表示数字、标识数字要用铅笔。在数轴表示用点表示数：数轴上的点可表示的不仅只有有理数、还有无理数，所以数轴是一条实数轴而不是有理数轴。我们只是先学习把有理数表示在数轴上，后来才学习把无理数也表示在上面，因此仅靠有理数或无理数哪一方也不能占满数轴， 只有同时把所有有理数、 无理数都表示在数轴上数轴才被占满。数轴上的点与实数一一对应。与有理数或无理数都不是一一对应关系。数轴上的点与实数并不是一回事儿，点是图、实数是数，只有把数表示在数轴上， 点与数才有关系。 就像电线是电线， 燕子是燕子一样，只有燕子站到电线上，燕子才与电线特别是电线上的点有关系。根据有理数、无理数正负的构成，有理数、无理数在数轴的正负方向都有分布，有理数的0 占据着数轴的原点。在数轴上有理数、无理数占点及数量没法比较。不论是有理数还是无理数均是一个数占一个点，反过来一个点对一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师精编优秀资料数，这就叫点与数一一对应。按正负性，有理数分三部分、无理数分两部分，但并不意味着有理数比无理数数量多，有理数、无理数两类数在数轴上排列也不是一隔一个间隔着，排列没有这种规律性。利用数轴可以比较大小有理数、无理数数量没法比较，大小却可以比。表示在数轴上的越往右（即正方向）数越大，反之则小。这也与正负数的规定吻合。0 大于所有负数，小于所有正数。4.互为相反数相反数的定义。注意定义相反数最好结合数轴，数形结合更直观理解相反数。相反数的表示及分类表示： -a与a 分类：一正一负的；同为0 的。结论 :任何数都有相反数。相反数表示在数轴上，数轴上表示相反数的两个点到原点等距，只是方向相反。根据这一特点，若已知一个数在数轴上的位置，可快速的在数轴上用尺规标出相反数在数轴上所在位置，进而比较大小。比如XY,比较 X、Y、-X、- Y 大小。相反数的相反数的转化、相反数的绝对值、相反数的和、相反数的偶次幂、奇次幂的应用，带“ -”的不一定是负数，可能为正，亦可能为0。5.互为倒数倒数的表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师精编优秀资料由于 0 的存在，并非任何有理数、实数都有倒数，无理数都有倒数倒数的大小比较。 要引入分类讨论思想。 两数均正，数越大，倒数越小一正一负， 正数倒数依然大两数均负， 数越大，倒数越小。6.有理数的绝对值绝对值的定义绝对值的性质及化简应用利用绝对值比较大小任何数都有绝对值。绝对值的距离应用。比如，在数轴上有从左往右有 A、B 两点，分别表示 3a+4、5b-1, A、B 两点距离为 7，准确填写 ab的等量关系式。7.有理数大小的比较属性比较法求差法数轴表示法绝对值法平方法下列说法正确的是（） A：如果ab，那么22ab B：如果22ab，那么ab C：如果ab，那么22ab D：如果ab，那么ab化简1( 1)( 1)nnaa ( n 为正整数 ) 的结果为 () 8.科学记数法、近似数与有效数字科学记数法、任何数都可用科学记数法表示：绝对值为0 的，记作 010n，指数为 0，也可为其它整数。绝对值小于 1 的，比如 -0.71 记作-7.1 101 0.00371记作 3.71103，指数为负整数。-12 记作- 1.2101、-135 记作-1.35 102指数为正整数绝对值小于 10 且大于等 1 的，如 6.4 记作 6.4100，指数为 0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页名师精编优秀资料绝对值于等于 10 的，比如 12 记作 1.2101、135 记作 1.35102总结：科学计数法表示的数可正、可0、可负。但要分为四种情况：第中 10 的指数无规律、可任意整数。第种 10 的指数有规律，且指数的绝对值等于小数点前进或后退的相对位数。a10n中,a一般 1a10。四舍五入及有效数字都是取得近似数的方法。54.3 万保留两个有效数字。 3851.6 保留两个有效数字。 9.546 保留两个有效数字。 采用先科学记数法， 再在 a10n中 a 保留有效数字。二、有理数的运算加、减、乘、除、乘方运算这一部分尤其要记两个有理数的加法法则、乘法法则，减法法则、除法法则也要记，当然更要知道减法法则、 除法法则分别在一级运算、二级运算中计算的转换功能， 他们可以让所在的每一级运算统一为加或乘。要关注加法法则、乘法法则的前提是两个有理数。 多个有理数相加、相乘法则中的结论不一定成立。多个有理数相乘，首先：要注意看是否为非0，其次：在非零的情况下结论的符号与正号数的奇、偶性无关，而是取决于负号数量的奇、偶性。加、减、乘、除、乘方运算中单纯的一种运算都要首先关注结果的符号的确定，然后关注加数或因数的绝对值之间的运算。关注运算顺序，活用运算顺序。可以用一级运算隔断，分段法同时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师精编优秀资料计算，节约步骤、时间、提高效率。熟练运算律。一级混合运算算式转成代数和读法与混合运算读法要掌握。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页