第一章概率论的基本概念练习题及答案

第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：, , , , , .5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，. 6. 若事件满足，试问是否成立？举例说明。 7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。8. 设，试就以下三种情况分别求：（1）， （2）， （3）.9. 已知，求事件全不发生的概率。10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：“三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1） （1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2） （2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。12. 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：，。13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。 16. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 17. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。18. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1） （1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2） （2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3） （3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。19. 设，证明事件与独立的充要条件是20. 设事件与相互独立，两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是，求和.21. 证明 若0，0，则有（1） （1） 当与独立时，与相容；（2） （2） 当与不相容时，与不独立。22. 已知事件相互独立，求证与也独立。23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1） （1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2） （2）第二人中奖的概率。26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。 28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。29. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。30. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率： （1）直到第次才成功； （2）第次成功之前恰失败次；（3）在次中取得次成功；（4）直到第次才取得次成功。31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。答案：第一章 概率论的基本概念习题答案. 1. 解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）(正，正)，（正，反），（反，正）2. 解：；3. 解：（1）；（2）；（3）；（4）;（5）；（6）；（7）或（8）；（9） 4.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 解：如图： 6. 解：不一定成立。例如：，那么，但。 7. 解：不一定成立。 例如：，那么，但是。8. 解：（1）；（2）；（3）。9. 解：=10. 解：；.11. 解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）12.解：；或13. 解：14. 解：（1）；（2）；（3）15. 解：或 16. 解：令“取到的是等品”，。 17. 解：令“两件中至少有一件不合格”，“两件都不合格”18. 解：令“系统（）有效” ，“系统（）有效”则（1） （2）（3）19. 证：与独立，与也独立。 ： 又 而由题设 即 ，故与独立。20. 解：，又与独立 即。21.证明：（1）因为与独立，所以 ，与相容。（2）因为，而， ，与不独立。22. 证明：因为、相互独立，与独立。23. 解：令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么令表示最多有一台机床需要工人照顾，那么 24. 解：令“系统（）正常工作” “系统（）正常工作” “第个元件正常工作”， 相互独立。那么 25.解：令“第个人中奖”，(1) 或（2） 26.解：令“被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，（1） （2） 27. 解：令“5件中有件优质品”，（1）（2） 28.解：令“抽取一件产品为正品” “箱中有件次品”， “该箱产品通过验收”（1）（2） 29.解：令“仪器需进一步调试” ；“仪器能出厂” “仪器能直接出厂” ；“仪器经调试后能出厂”显然，那么 所以令“件中恰有件仪器能出厂”，（1）（2）（3） 30. 解：（1）（2）（3）（4）31. 解：令“恰有次击中飞机”， “飞机被击落”显然：而，所以；