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浅谈线性方程组的数值解法及其应用1、相关定义1.1、分形油藏基本概念 定义 3.132:维数为 的分形渗透网嵌入到d(d=2,3)维岩块中,即整个导流系统是 一个分形体,称具有这种特性的油藏为分形油藏。 df 3.1.1 分形孔隙度 f和渗透率Kf (r) 假设分形体内流体储集在体积为 的座点处(设每个座点体积相同),座点密度为 。分形体中,座点孔隙体积 为常数。用 描述某种相应对称性(如 , Vs N( r ) Vs B B= A 2 h和 4 分别描述直线对称,圆柱面对称和球对称),a为位置-浓度参数33, 为岩块的欧几里 德维数,定义分形孔隙度 d f有: f= aBVs rd f ?d (3-1) 这说明分形网格的f 不再是常数,而是随波及半径r 成幂律关系。取 ,则有: w r =r df d f w w r r w=aVBs rwd f ? d,得到分形孔隙度= ? ? ,w 为r = rw 处的孔隙度。 同样渗透率定义为:Kf( r)= aVsB m rd f ?d ? (3-2) ( ) r= rw处的渗透率Kw=aVs Bm r wdf ?d ? ,得到渗透率Kf r= Kw ? rrw ?d f? d ? 。 3.1.2 分形参数的物理意义 (1)分形维数df 分形维数df 严格地是一个分形体的几何特征,是分形体复杂程度的重要标志。一般 认为,d f值不同,复杂程度也不一样。随复杂程度加剧,d f 值会愈高。 15 1.2、分数阶的基本定义 从十七世纪分数阶微积分诞生之日起,数学家们就不断的探讨分数阶算子的理论体 系。后经多位数学家的努力,从不同的角度入手,建立了多种不同形式的分数阶算子定 义,现在主要通用的三种定义1形式为: (1). Grmwald-Letnikov 定义:对于任意的实数 ,记 的整数部分为 ( 为 小于 的最大整数),假如函数f ( t ) 在区间,t 上有m+ 1 阶连续的导数, 0 时, m 至少取 ,则定义分数阶 阶导数为: ( ) li0m 0 ( ) n G aD t f t nhh =t ?a h ? i = ? ?i ? f t ? ih (1-1) ( )( 1)( 2) ( 1) ! i i i 其中,? ?= ? ? + ? + L ? + ? 。故上式可化为: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 ( )1 ( ) 1 1 Gmkk t m m a tk a D f tf t t f d k m = ? + ? +? + + ? + + ? ? + + (1-2) 这个定义是从寻找 阶导数与n次积分的统一性出发,衍生出来的。 可以扩展为 负整数。 n n (2). Riemann-Liouville 定义: Riemann-Liouville 定义的分数阶导数为: ( )( () ) 1 ( ) 1 ,0 1 n n R a tn t n an d f n N D f tddt f d n dt n t ? + = ? = ? ? ? ? 1.3、Bernsrein 多项式的定义 定义 2.2.2.1 n次 Bernsrein 多项式定义42为如下形式: B,(x) n xi(1 )n i in i x(2-21) 由(1 x)n i的二项式展开得: n n i i(1 )n i (1)k n ni i k i xx k i k x(2-22) 0 令 ( x ) B0 , n ( x ) , B1 , n ( x ) , L , Bn ,n( x)T,则 ( x ) A n( x)(2-23) 其中 - 12 - ( 1)0 n 1 nnn0nn0 0(1) 0 0 1 (1) 0 n 0 A 0( 1)0 n (1)n i n ni i i n i , n( x ) 1, x , L, xn T 0 0( 1)0 n n 1.4、与迭代法有关的定义、定理 为研究迭代序列的收敛速度和收敛效率,先给出效率指数的定义,收敛阶 定义及收敛定理。 定义 1.12:设迭代序列 x n0的收敛阶为 p 1,每步迭代的计算量为, 则称量 e=l n p , 为迭代序列的效率指数(Efficiency index)。 定义 1.22:设迭代过程 x n +1= ( xn)收敛于方程 x = ( x)的根x *,如果迭 代误差e= x x* n n当n 时成立下列渐进关系式: en+1 ep c( c 0为常数 ), n 则称该迭代过程是 p 阶收敛的, c称为渐进误差常数。 当 p = 1时,称迭代过程 x n +1= ( xn)是线性收敛,当 p 1时,称为超 线性收敛的。特别的, p = 2是平方收敛的。设e= x x* n n为第 n 次的迭代误差, 则关系式e + ce p + o ( ep+1 n 1=n n)为次迭代过程的误差方程,p 为收敛的阶。 定理 1.11:设 C a ,b,且 a ( x ) b对一切 x a ,b成立,则 在 a ,b 上一定有不动点。进一步设 C 1( a, b),且存在常数 0 1.5、基本记号及基本概念 首先,我们介绍一下非线性方程组求解中常用到的基本记号 包含 n 个方程 n 个未知数的非线性方程组为: f x 1 , x 2 , L, x n 1 0, f x 1 , x 2 Lx n 2, , 0, M(1.1) f x 1 , x 2 , L, x n n 0. 其 中 , f1 x , f 2 x , L ,f n x 为 这 个 方 程 组 的 n 个 分 量 函 数 , 每 个 分 量 函 数 f i x i 1,2, L ,n 都是定义在 n 维空间R n中的一个开域 D 上的实值函数,同时规 定它们至少有一个是非线性的。 为了以后书写方便,我们记 f1 x x1 0 2 F ( x) f 2 x x x M,0 0 M, , f n x x n 0n 则非线性方程组(1.1)可以改写成如下形式: F ( x) 0, 这里 F (x)表示定义域在R n内的开域 D 上,值域在R n内的非线性函数(或称为非 线性映射或算子),记为F ( x):D Rn Rn。 如果存在 x * D,使得 F (x*) 0,则称x *为非线性方程组(1.1)的一个数值解。 本文主要讨论的就是求解非线性方程组(1.1)的一些高阶迭代方法以及相关理 论。 下面再介绍一些求解非线性方程组中常用的基本概念,首先介绍函数 F : D Rn Rn的导数的概念。 定义 1.1 对于函数F : D Rn Rn,如果存在矩阵A L R n,Rn ,对于 D 的 内点 x以及任意一个h Rn,都有 1 lim 1 h 0 (1.2) h F x h F x Ah 0, 则称F x 在 x 点处 Frchet 可导,简称 F 可导,此时有F x A,称其为 F x 的 F 导数。 函 数F x 在 点 x 处 F 可 导 的 充 要 条 件 是F x 的 每 一 个 分 量 函 数 fi x i 1, 2, ,n 在点 x 处可导。 根据定义知,如果函数F x 在 x 处 F 可导,则在点 x 处的F x 的各分量函 数f1 ,f2, ,fn的偏导数都存在,即 jfi x fi x x, i 1,2, ,n;j 1,2, n, i 且有 f1 f1 f x,x, ,1 12xn f2 f2 f F x jfix x, x, ,2 12 x n, (1.3) fn, fn, , f n x1 x2 xn 称(1.3)表示的矩阵为函数F x 的 Jacobi 矩阵。 定义 1.2 假定函数F : D Rn Rn在一个开集 D0 D上的每一个点 x处都 F 可导,且其 F 导数是F x ,同时由(1.2)式表示出,F :D n0R L R n,Rn 若 在任意一点x D0上 F 可导,则称F x 在 x 点处的 F 导数为 F x 在点 x 处的二阶 F 导数。 根据定义知,F x L R n,Rn , F x 是F x L R n,Rn 一个双重线性函数,对每一个h Rn, ,由定义知 lim 1 t0 t F x th F x tF x h 0 其中F x h H 1 x h ,H2 x h , ,Hn x h ,而 2f 2 2 ixfixfi x x2, x x, , 121 xn x 1 2f i x 2 ,fi x 2 , ,fi x Hix x x x2 122 xn x 2 , i 1, 2, ,n, 2 f 2 2 ix,fix, ,fi x x1 x x2 x xn nnn 上式称为是分量函数fi x 的 Hessian 矩阵。 2 当F x 也 F 可导,或分量函数 fi x 的所有的二阶偏导数连续时,就可以 得到: 2f2 ifi x x x x,对 j,k 1,2, ,n;i 1,2, ,n都成立, jkkj 则此时分量函数fi x 的 Hessian 矩阵Hi x 是对称矩阵,这时候也称F x 是对称 的,即对任意的h , k Rn,都有F x h k F x kh成立。 下面介绍求解非线性方程组的迭代方法。 用迭代法求解非线性方程组的思想是,先构造一个迭代方程,即将非线性 方程组 F ( x) 0改写成下面的形式: x G x (1.4) 且G : D Rn Rn,通常函数 G 的形式可以有很多种,对应的就可以表示不同 的迭代方法。对于式(1.4),先选择合适的初始值0 xn 1 G xn x ,能够得到一个迭代序列:, n 0,1,2, (1.5) 其中x D Rn n。 定义 1.3 若此迭代序列(1.5)的极限存在,则称该迭代序列(1.5)是收敛的, 且收敛于非线性方程组 F ( x) 0的根x *,即 ln i m x*n x。 此时,当 n 充分大时,可以取x n为方程组根x *的一个近似值。 除了研究一个迭代序列 x n, n 0,1, 的收敛性外,还要研究它的收敛的快 慢,即收敛速度的问题。通常我们用收敛阶数来评估一个迭代序列的收敛速度。 下面给出收敛阶数的定义: 定义 1.4 假定迭代序列 x n, n 0,1, 收敛于x *,且存在常数 p 1以及常数 0,当k k0时,有下列式子成立: x x* x*p k1 k x, 则称序列至少 p 阶收敛,当 p=1,0 1时称序列至少线性收敛,当 p=2, 0 称序列至少平方收敛。 若k k0有xk x*,或xk x*但 x* limk 1 x k x x*p 0 k 时,称此迭代序列 x k 为超 p 阶收敛,当 p=1 时,称为超线性收敛,当 p=2 时, 称为超平方收敛等等。 我们利用收敛阶可以比较不同迭代序列的收敛速度,比如已知两个收敛序 列的收敛阶不同,我们可以说一个比另一个收敛速度快,但是对于两种不同的 迭代法,只比较收敛阶还是不能说明它们的好坏。换言之,比较迭代法的好坏, 除了比较它们的收敛阶大小外,还要考虑每步迭代所需的计算量,即效率问题。 总的来说,一个较好的迭代法就是能在最少的时间里求出满足精度要求的方程 3 组的解 。所以,对于一个迭代方法,我们除了要研究它的收敛阶,还要研究 它的效率,即迭代法效率,下面就给出迭代法效率的定义。 定义 1.5 若一个收敛于方程组根 的迭代序列x n的收敛阶为 p 1,每迭代 一步所需的工作量为 W,则 e lnp W(1.6) 称为该迭代法的效率。 注:有时也把迭代法的效率定义为 e p1W(1.7) 上式与(1.6)本质上是一致的,因为可以对(1.7)两边同时取对数,就能够得到: ln e lnp W。 1.6、迭代法的相关概念 1.2.1 迭代法的基本概念1.2.1 迭代法的基本概念 迭代法1也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,并使之 逐步逼近真解的一种方法。它是求解非线性方程的主要方法,也是数值方法中 的一种基本方法。 设一元函数 f ( x )是连续的,为了求一元非线性方程(1.1)的实根,先将它转 化成等价形式: 1 x = ( x)(1.2) 其中 ( x)是一个连续函数。然后构造迭代格式 x k +1= ( x k), k= 0,1, 2, .(1.3) 对于给定的初始值x0 ,若由此迭代公式产生的迭代序列 xk 收敛,即 klimx = x*k,则就称迭代格式(1.3)是收敛的,此时有 x * = ( x*),即x *满足方程式 (1.2),根据等价性可知x *也是方程(1.1)的根。迭代格式(1.3)称为基本迭代法, ( x)称为迭代函数,要适当的选取迭代函数,使迭代序列 x k尽快地收敛于x *, x *就是 ( x)的不动点,(1.3)式也称为不动点迭代。 1.7、小波的定义 什么是小波?顾名思义,”小波”就是小的波形,它具有很快的衰减性和振幅快 速衰减,只有局部是非零的;小波的振幅呈正负相同的震荡形式。与此相反的是”大 的波形”,例如正弦函数,它的图形在(?,+)上震荡大小不变的波。 从小波分析的发展史来看,小波定义的发展有过许多变化59: Grossmann 与 Morlet 给出了小波的第一定义:L2 ( R ) 上的函数 (x ) 是一个小波, 如果它的 Fourier 变换 ?( ) 小波几乎处处满足条件: 2 0 ? (t ) dtt 1 = . 小波的第二定义是由 Littlewood-Paley-Stein 的理论修改而成:L2 ( R ) 上的函数 (x ) 是一个小波,如果它的 Fourier 变换 ?( ) 小波几乎处处满足条件: ? (2j )2 1 + ? ? = . 第三种定义由 Franklin 和 Stromberg 给出,一个小波是L2 ( R ) 上的函数 (x ) , 如果 2 2 (2 ); , j j x ? k j k Z 是L2 ( R ) 的一个正交基。这样的小波一定满足第二定义 的条件。 由小波的三个定义可以看出,逐次添加了更多的条件,因此变窄了”小波” 8 的范围。Meyer 于 1986 年创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数 (x ) ,它的 二进伸缩与平移函数系 2 , : 2 (2 ); , j j j k= x ? k j k Z 构成了 L2 ( R ) 的规范正交基,才使小波得到真正的发展,统一了在此之前的许多 小波构造方法。 通常考虑的实小波函数 (x ) ,其定义域为(?,+)且满足下面两条性质60 : (1) ( x) 的积分为零: ( x) dx 0 + ? = ; (2) 2 ( x) 的积分为 1: 2 (x )dx 1 + ? = . (2-1) 对于正弦函数,(2-1)的积分是无穷大,因此,正弦函数是不能被标准化。 1.8、Legendre 小波定义及性质 Legendre 小波定义: 区间0,1上的 Legendre 小波定义为 2 ,( ) 212 (2? ), ?2 1 ?2 1 , 0, k k m k k n mx= ?m+ p ? nn ? x n + ? 其它, 其中 m=0,1, M -1, ?n = 2 n -1, n = 1,2, 2k-1 , k 是正整数,pm ( x ) 是定义在 ? 1,1 上的m 阶 Legendre 多项式。 其中 Legendre 多项式的定义如下: 当区间为-1,1,权函数 ( x) = 1 时,由 0 n x n= 正交化得到的多项 式 pn( x ) n=0 就称为 Legendre 多项式43。 Legendre 多项式有下述几个重要的性质: (1)正交性 1 1 0, , ( ) ( ) 2 , . 2 1 n m m n p x p x dx m n n ? ? + = (2)奇偶性 pn(? x) = (? 1)n p n ( x ) . (3)递推关系 30 p0 ( x ) = 1 , p1( x )= x , 1 1 ( )2 1 ( ) ( ) n1 n 1 n p xn xp x n p x +=n+ ? n + ? ,n = 1,2 . (4)pn ( x ) 在? 1,1 内有n个不同的实零点。 下面介绍 Legendre 小波的函数逼近: 定义在区间上0,1)的函数y ( x ) 能够用 Legendre 小波展开为 , , 1 0 ( )n m n m ( ) n m y x c x = = = , (4-1) 其中系数cn ,m 可由内积确定,即 cn ,m= y( x ), n ,m ( x ) . (4-2) 把定义(3.21)中的无穷级数截断,得 21 1 , , 1 0 ( ) ( ) ( ) k M n m n m n m y x c xc x ? ? = = = , (4-3) 这里c 和 ( x) 是2k?1 M 1 矩阵,其元素为 1,0 1,1 1, 1 2,0 2, 1 21 ,0 2 1 , 1 , , , , , , , , cc c cM c c M cK c K M ? ? =? ? ? 和 1,0 1,1 1, 1 2,0 2, 1 21 ,0 2 1 , 1 ( ) , , , , , , , , x M M K K M ? ? =? ? ? 其中 T 代表矩阵的转置。 设k ( t , s ) 是关于两个独立变量t 0,1) 和s 0,1) 的函数, 则它的 m 阶 Legendre 展开为 k ( t , s ) (t )K ( s ) , (4-4) 其中 bij= i( t ), k (t , s ) , j ( s ) , (i,j=1,2,3 2k-1 M ) , K (aij )2k1 M 2k 1 M ? ? = . (4-5) 两个 Legendre 小波函数的数乘的积分为 31 1 0 = ( x ) ( x) d x, (4-6) 这里为单位矩阵。 4.1.2 Legendre 小波的积分算子矩阵56 为了得到 Legendre 小波积分算子矩阵的通式,以M= 3, k = 2 为例,其中系 数 矩 阵 和 小 波 矩 阵 分 别 分C 6T= c1,0 , c1,1 , c1,2 , c2,0 , c2,1 , c2,2 和 6(t ) = 1,0 , 1,1 , 1,2 , 2,0 , 2,1 , 2,2 T ,建立 6 6 算子矩阵。下面首先给出 6 个 Legendre 小波函数 1,0 1,1 2 1,2 ( ) 2 ( ) 6(4 1) 01 2 ( ) 10(24 12 1) t t t t t t t = ? ? = ? + ? ? , (4-7) 2,0 2,1 2 2,2 ( ) 2 ( ) 6(4 3)1 1 2 ( ) 10(24 36 13) t t t t t t t = ? ? = ? + ? ? . (4-8) 对 6(t ) 从 0 到t求积分,并表示成矩阵的形式如下 01,0 2 ,01 ( )2 2, 1 1 2 2 t t t x dx t = ? ? ? ? , 6 11, 3 ,0,2,0,0 ( ) =4 3 t . 2 01,1 6(2 ),01 ( ) 0, 1 12 2 t t t t x dx t = ? ? ? ? , 32 6 1 3 ,0, 3 ,0,0,0 ( ) =4 ? 3 3 5 t . 同样,有 t0 1,2 (x ) dx = 14 0, ? 5 53 ,0,0,0,0 6 (t ) , 0t 1, ?1( x ) dx = 14 0,0,0,1, 33 ,0 6 (t ) , 0t 1,0( x )dx = 14 0,0,0, ? 33 ,0, 3 35 6 (t ) , 0t 1,1( x ) dx = 41 0,0,0,0, ? 5 53 ,0 6 (t ) , 综上可得, 06 6 6 t( x ) dx = P ( t ) , 其中 6 03 0 2 0 0 3 30 3 0 0 0 3 3 5 05 0 0 0 0 P1 5 3 40 0 0 1 3 0 3 0 0 03 0 3 3 3 5 0 0 0 05 0 5 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 对 (t ) 积分,得 0 ( ) P ( ) t x dx = t , (4-9) 这里P 是2k?1M 2k ? 1 M 的矩阵,即 33 21 2 1 L F F F O L F F P21 O O L F O O O L k k k ?M ? M ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? . (4-10) 其中F和L分别为M M 的矩阵,即 2 0 0 F0 0 0 0 0 0 M M ? ? ? ? = ? ? ? ? . 13 3 30 3 3 3 5 50 5 5 3 5 7 L 7 0 7 5 2 3 2 3 (2 3) 2 5 (2 3) 2 1 2 3 0 (2 1) 2 3 M M M M M M M M M M M ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两个 Legendre 小波函数乘积的积分为: 1 T I=0 (x ) ( x )dx . 这里的I为单位矩阵。 1.9、图解法定义及理论基础缘起 随着艾森曼图解日志(Diagram Diaries)的发表,伊东丰雄(Toyo Ito)在描述妹 岛和世时使用了”图解建筑”的词汇,以及库哈斯方案屡屡中标带来的图解风暴,图解 (Diagram)一词不论在东方还是西方,都成为建筑学讨论的热点。但目前对图解的 研究多在理论和哲学方面,且各个理论看法不一,差异甚大。 故本文希望以图解法作为切入点,用前期的理论分析作为基础,通过着重分析 NO.MAD,MVRDV,UNStudio 和艾森曼四个图解设计师的的实际案例,探寻建筑 形态背后的概念形成过程,找寻隐藏着的生成规律,以作为今后设计的指导。同时 在分析的过程中,找到适合自己的一套比较客观理性的建筑评论方法。 1.10、数值方法的收敛性定义 随机脉冲微分方程(3-1)要求 X0 是 F0-可测的随机变量且 E|X0|2 0 使得 E|XkN,n ? X(tkN,n)|2 21 c0hp, h 0 (3-2) 那么我们称随机脉冲微分方程(3-1)应用的某种数值方法在均方意义下是强 p 阶收敛的。 1.11、数值模拟精度概念 目前,利用数值模拟的手段可以较为准确的预测材料成形质量的情况,但 是对于随之而来的板料回弹现象,数值模拟结果与实验结果偏差较大,导致所 得到的零件的成形精度并不理想。虽然优化工艺参数可以减小板料在弯曲过程 中所产生的回弹现象,但是对于高强钢和铝合金等高强度材料回弹现象依然十 分的严重,此时需要通过模具补偿等手段来提高成形精度,这就需要我们能够 更精准的对回弹进行预测。 针对于这种情况,我们首先将实际的成形件卸载回弹后的实验结果与标准 件之间的相似程度称之为成形精度,两者越相似,成形精度就越高,成形效果 就越好,成形精度主要用于检验最终实验成果的精确程度。之后,我们将数值 模拟所得到的结果与标准件之间的相似程度称之为模拟成形精度,两者越相 似,模拟成形精度就越高,模拟成形精度主要用于利用数值模拟的方法探寻成 形规律,进而优化工艺条件。 最后,我们将实际的实验结果与数值模拟后所得到的模拟结果间的相似程 度称之为数值模拟精度,两者越相似,数值模拟精度就越高,模拟的就越贴近 实际情况,数值模拟精度主要用于减小在数值模拟过程中产生的误差,提高预 测的精度。本文提出数值模拟精度这一概念的主要原因就是希望通过调整模拟 过程中的模拟参数尽量可能的提高预测的精度。 1.12、数值方法的基本概念 Kloeden 和 Platen 在其著作14中对求解随机微分方程的数值方法的收敛性 和稳定性作了很严谨的定义,我们在此罗列一些本文中要用到的基本定义。首 先,我们给出数值方法收敛性的定义。假设 yk (k = 0,1,2, ,N) 是利用某种 数值方法求解方程 (2-1) 所得到的数值解。 定义 2.6 求解方程 (2-1) 的某种数值方法称为均方收敛的,如果存在不依赖于步 长 h 和 k 的正常数 M 使得 E max k=0,1,2, ,N yk ? x(tk) 2 12 Mhp 并且称这种数值方法的强收敛阶是 p . 下面,我们给出数值方法稳定性的定义。假设 yk (k = 0,1,2, ,N) 是利 用某种数值方法求解方程 (2-7) 所得到的数值解。 定义 2.7 求解方程 (2-7) 的某种数值方法称为均方稳定的 (MS 稳定的),如果存在 h0 0 ,对任意的步长 h (0,h0) ,数值解都满足 lim k E yk 2 = 0 定义 2.8 求解方程 (2-7) 的某种数值方法称为一般均方稳定的 (GMS 稳定的),如 果对任意的步长 h 0 ,数值解都满足 lim k E yk 2 = 0 2、相关背景2.1、研究背景数来逼近复杂的函数或者离散的点列,这就是函数逼近的思 想。寻找简单、易于计算的函数,成为函数逼近比较重要的部分,而多项式比较符 合这些要求,也慢慢成为做函数逼近的有效方法。与此同时,多项式的局部性质会 决定其整体性质,也影响了其函数逼近效果,如果局部误差比较大,就会造成整体 逼近效果不佳。这样就必须解除局部误差对总体逼近效果的关联,那么就要研究样 条函数。 样条函数可以实现局部性质与总体性质的无关联,这样就可以保证各段之间的 局部性质是相互独立的,而且其光滑性,也显示了样条函数的可用性和结构简单的 特点。1946 年,I. J. Schoenberg 提出了一元样条函数理论,并进行了深入研究1。 计算机逐渐应用已经覆盖到生活的各个方面,样条函数与计算机技术有着紧密的联 系。与此同时,也促使样条函数也有着长足的发展。 2.2、课题背景和意义世界进行了解,往往把一些复杂的现象或者过程 用数学模型进行模拟,通过对数学模型的研究来了解或者预测事物的变化规 律。而在建立的数学模型中,常常含有微分方程。 最初人们使用的微分方程主要是常微分方程(简称 ODEs)或者偏微分方 程(简称 PDEs),这两类方程的构造有一个共同的前提:即假设系统的未来状 态仅仅由现在的状态来决定。但是随着对事物的深入研究,人们发现很多事 物的发展规律不只跟”现在”有关,例如传染病的传播,患者对疾病具有一段 感染时期,恢复者对疾病具有一段免疫时间1;森林砍伐中,树木从栽种到成 熟,要经历几年的时间;食物进入人体内在发挥作用以前要先经历一个消化过 程23;动物的数量增长要受到一个繁殖周期的影响等。这些生活中常见的现象 说明有些过程要受时间滞后的影响,所以在建立一些模型时时滞是需要考虑的 因素,因此延迟微分方程(简称 DDEs)被构造出来。例如 Volterra 在 1928 年研 究捕食者-食问题时? yx给(tt) 出 = 了yx(t如t)下a? ?含 +b 有cx(xt(时)t ) ?滞 + 的? r0? r0模 F1F(2型(2)5)y(xt (t + + )dd 1948 年 Hutchinson 研究了以下 DDEs24 x(t) = x(t)1 ? x(t ? )/K 1968 年 Israelson 和 Johnsson 在研究向日葵的生长时给出了如下方程3 (t) = ?k 1 f() sin (t ? ? t0)d 有时忽略”历史”的影响不会对模型分析带来很大的差异,但有时小延迟可以 产生大的影响211,因此需要研究带有时滞的微分方程。 近年来人们观察到自然界和现实生活中有些系统的状态在发展过程中的某 个瞬时发生剧烈变化。比如药物的注射,在每次注射药物时存在于人体内的药 物的剂量会发生一次猛然的增加;比如生物学里面的阈值限制,如果超过阈值 限制,物体的数量或者状态会发生突然的变化;再比如资金投资的过程,资金 - 1 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 投资不是在一个连续的时间里发生的,而是在间隔一段时间以后注入资金,所 以在每次注资的时候资金数量会发生猛然的增加;见过心电图的人,会看到心 电图是一条波动曲线,这条曲线在一些时刻有一个突然的上升或下降,在其他 时刻的变化趋势相对平缓;火箭发射过程中,每个阶段的速率不同,在两个阶 段的过渡时刻速率会发生突然变化411;细胞的分裂是在一些离散时刻,其数 量变化不是连续的。以上现象的产生往往是由某个短时间的扰动引起的,由于 时间很短,所以可以看做瞬时扰动。在数学研究中人们把这种小扰动带来的状 态”跳跃”现象看成以脉冲的形式出现,称这种现象为脉冲现象。脉冲效应不 仅仅客观存在于很多自然过程中,而且还可以被使用,目前脉冲在很多科学和 工程领域都有应用,例如机械学,最优控制,生物技术,航天技术,混沌控制, 无线电技术等411。忽略脉冲作用使得所建立的模型比较粗糙,甚至失真,因 此将脉冲加入数学模型使得模型更贴近现实,由此研究者构造了脉冲微分方程 (简称 IDES)。脉冲的存在有可能改变不带脉冲的微分系统的性质,例如原来 的系统是不稳定的,但是在加入脉冲以后系统变成了稳定的,这就是所谓的脉 冲镇定问题5,或者原来的系统具有振动性,加入脉冲以后系统的振动性发生 改变6等。在脉冲系统中,脉冲时刻的类型有很多种,有些过程的脉冲时刻是 固定不变的,有些过程的脉冲时刻随着时间或者系统的状态发生变化,自治系 统的脉冲时刻跟某个集合 M 有关,还有一些过程的脉冲时刻是随机的。 在现实生活中有些过程同时受到时滞和脉冲的影响。例如人口的发展会受 到生育周期(从新生儿到发育成具有生育能力的个体的时间)的影响,这就产 生了时滞,还可能受到脉冲的影响,例如东汉末年中原地区瘟疫猖獗,使得人 口数量剧烈减少,瘟疫就可以看做一个脉冲作用;例如传染病模型中的传染期 等会产生时滞,接种疫苗就是一个脉冲作用1301。因此研究脉冲和时滞共存的 系统是有必要的,相应地产生了脉冲延迟微分方程(简称 IDDEs)。但是由于 这类系统受时滞和脉冲的双重影响,其解的性质变得更复杂,也更有意思。 实际问题中产生的有些微分方程很难求解,甚至无法求解,有些情况下人 们并不需要解析解的精确表达式,而只需要解的一些离散数值,这个时候使用 数值方法去逼近解就是一个很好的选择,数值方法是帮助人们研究解析解的一 个好帮手,实践经验说明了数值模拟确实是一条切实可行的途径。IDDEs 的解 析解往往不容易求得,甚至连简单的线性 IDDEs 都很难求解,这时只对解析解 进行定性分析并不能帮助人们解决实际问题,所以需要研究 IDDEs 的数值方 法。 - 2 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 2.3、非线性方程的研究背景泛发展,数值计算显得日趋重要,数值计 算方法是研究数学问题的数值求解方法,包括科学计算,系统模拟等。在利用 数学工具研究社会现象和自然现象,或解决工程技术等问题时,许多问题可以 转化为对 f ( x ) = 0(1.1) 的求解。我们已经知道的事实是:当方程的次数大于 4 的时候,该方程在理论 上不能用其系数表示它的根;实际中,对很多非线性方程求精确解的问题是非 常困难的,所以我们只能寻求他的近似解。而迭代法是求解此类方程 f ( x ) = 0根 的重要方法之一。 长期以来,人们提出了很多种迭代法,其中具有代表性的经典的方法有: 对分法、不动点迭代法、Newton 迭代法、弦截法、抛物线法、Halley 迭代法、 Euler 迭代法等等。这些经典的迭代法提出来后,引发了很多人对非线性方程求 根进行了更为深入的研究和探索。 近些年来,国内外对非线性方程求根的研究仍处于蓬勃发展的阶段,发表 的关于非线性方程求根的迭代法方面的论文有很多,提出了许多卓有成效的迭 代法,主要基于这种思想就是:迭代格式能否加速迭代序列的收敛速度。 目前实际应用中,还需要求非线性方程的复数根,寻求非线性方程组的迭 代法,微分方程的迭代法等等,实际的需要,要求我们对非线性方程求根的迭 代法进行更深入的研究,广阔的应用前景必将进一步推动非线性方程求根的迭 代法的发展。 2.4、非线性方程求解的研究背景基本上都是非线性的。非线性学科几乎 贯穿了自然科学、工程科学以及社会科学等各个领域。当我们在使用数学工具解 决工程技术、生产实践以及金融经济等问题时,往往最终把这些问题归结为对某 个非线性问题的求解的过程。非线性问题的求解方法就成为了现代计算数学中的 重要分支,而对非线性方程的根的求解是其中最基本的问题之一。 在用数学工具解决自然问题以及社会问题时,许多问题都可以转化成为对某 个非线性方程 f ( x ) 0的求解问题。 当 f ( x )为n次多项式a x n a x n 1 n n 1 a1 x a0,则称 f ( x ) 0是代数方程, 当 f ( x )是由其它多种函数组成的非线性方程,如 e x sin( nx2) 0,则称 f ( x ) 0为 超越方程。 我们知道,对于非线性方程 f ( x ) 0,如果 f ( x )为n次多项式,那么它有n个 根(实根或复根)。如今,对于低于四次的代数方程已经有很多求根公式,而对高 于四次的代数方程则不存在由方程的系数所确定的求根公式。当 f ( x )为超越函数 时,则更无法通过求根公式得到精确的解了,并且还可能有无穷多个根。在实际 应用中,我们通常无需得到方程的精确解,往往只需要得到满足一定精度要求的 近似解。所以,长期以来,非线性方程的求解问题就一直引起了数值工作者的兴 趣和重视。对于非线性方程的求解,迭代法是其中最有效也最为常用的方法之一。 2.5、非线性方程组奇异问题的研究背景和现状 1.2.1 牛顿法研究的历史和现状1.2.1 牛顿法研究的历史和现状 下面介绍用牛顿法求解非线性方程组奇异问题的历史。 众所周知,用于求解非线性方程组(1-1)的牛顿法采用迭代格式 xk+1=xk?(F (xk) ?1F( x k) (1-2) 并在 Jacobi 阵F(x * ) 是非奇异的时候,这种格式具有二阶收敛性。但当F(x * ) 奇异的 时候,利用上面的格式求解就很难保证收敛。为了克服这一现象,早期应用牛顿法思想 第一章 绪 论 2 求解非线性方程组奇异问题时,主要的想法是尽量避开F(x * ) 的奇异性。即采用下面两 种迭代格式: (a) xk+1=xk?(F(xk) + I) ?1F( x k ) ; (b) xk+1=xk? k(F (xk) ?1F( xk ) . 若采用公式(a),要找一个适当的正数 ,其目的是修正 Jacobi 矩阵(F(x k)+ I ) 成为 非奇异。若采用公式(b),每次迭代要确定一个 k (0),目的是为了保证F(x k ) 单调下 降,并且使 xk 不在奇异集合x|det(F( x) =0 之内。到了80年代中期,一部分学者,如 Deker 和Kelley1,Griework2,Allgower3,不再刻意回避奇异性,他们通过对 Newton 迭代序列的收敛性态研究,进一步发现牛顿序列收敛的性质与 Jacobi 矩阵F(x * ) 的零 空间的性质有关。因此,要继续使用Newton法解非线性方程组并且在适当的条件下,保 证 Newton 法的收敛性仍然具有二阶速率,就必须在迭代过程中利用零空间的向量。基 于这样的思想,人们开始构造非线性方程组奇异问题(1-1)的扩张系统。例如 Weber 和 Werner4 构造的扩张系统 ?Fy( FTx () y x+) ? y 1y? , Yamamoto5 所构造的扩张系统 ?Fq( FTx )(y x +) ? y1 p? , 这些系统都有解z* =(x *,0, v ) . 对这类扩张系统比较实用的是90年代 A. HOY6 所设计 的扩张系统: T(x)=?det(F(F x ( )x )? (1-3) 在对值空间R(F (x * ) 附加条件限制下,T(x * ) 是满秩的,而det(F( x ) 和零空间的向量 密切相关。把det(F ( x) 在x * 处展开,并利用 Gauss-Newton 方法由(1-3)确定的T(x ) 简 化,得到迭代公式: 中国石油大学(华东)硕士学位论文 3 k kTkkk TkkTkkk xk+1=xk?dk?1?q(vu)?(uF ()x F) v(xv )v d v (1-4) 其中d k ,v k ,u k 由方程组Bkdk =F( x k ) ,Bkdk =F( x k ) ,Bku k = q ,Bk=F(xk ) + pq T 确定。同一时期,Dan,Frank 和 Schnabel 7引入了 Tensor 模型,其主要思想是在离 散化的线性模型后加上一个二阶项,即: MT(xc+d)=F(xc)+Jcd + 12 Tcdd 其中Tc Rn n n 是在点x c 附近由F(x c ) 的二阶导数的信息给出,即, Tc=argmin?TcF|T?csksk=z k,k=1,2 , L,p 其中s k ,z k 的定义可见7。Tensor 模型的目标关键在于寻找一个d R n 使得d 是问题 dmiR nnMT( xc d)2 + 的解。在 Jacobi 矩阵F(x * ) 是秩亏一并且uTF(x * )vv 0 的条件下,基于理想的 tensor 模型所产生的迭代序列局部地、并且二步Q-超线性收敛于解,但是离散化的 Tensor 模 型却是三步Q-超线性收敛于解。自1984年以来,该扩张方法被认为是求解非线性方程组 奇异问题的一个非常不错的方法。 近年来,非线性方程组奇异问题的求解有了新的发展。Ge Rendong8在迭代公式(1-4) 的基础上,采用修正的ABS算法,避免了直接计算(uk)TF (xk ) vk ,节省了计算量。05 年,Ge Rendong8对于F(x * ) 的秩 rank(F(x *)=n?r ,1r 2.6、课题研究背景题( 即 子 矩 阵 约 束 问 题 )就 是 给 定 矩 阵 A的 一 个 子 矩 阵 A0 , 在 某 种 约 束 条 件 下 构 造 矩 阵 A的 问 题 。1978 年 ,de Boor 和 Golub 首 次 提 出 并 讨 论 的 Jacobi 矩 阵 逆 特 征 值 问 题 1: 给 定 n阶 Jacobi 矩阵J n 和 实 数 1,2, , 2n ,构 造 一 个2 n 阶 Jacobi 矩 阵J 2 n ,使 得1,2, , 2n 是J 2 n 的 特 征 值 , 并 且J n 是J2 n 的 n阶 顺 序 主 子 矩 阵 , 就 是 一 类 Jacobi 矩 阵 的 扩 充 问 题 。 研 究 矩 阵 扩 充 问 题 对 矩 阵 理 论 、方法及其实际应用具有重要意义。 矩 阵 扩 充 问 题 是 一 类 约 束 矩 阵 方 程 问 题 , 约 束 矩 阵 方 程 问 题 是 在 满 足 一 定 约 束 条 件 的 矩 阵 集 合 中 求 矩 阵 方 程 ( 组 ) 的 解 的 问 题 , 它 是 近 年 来 数 值 代 数 领 域 中 研 究 和 讨 论 的 重 要 课 题 之 一 , 在 结 构 设 计 , 非 线 性 规 划 , 参 数 识 别 , 电 学 , 动 态 分 析 , 结 构 动 力 学 , 固 体 力 学 , 有 限 元 , 线 性 最 优 控 制 等 领 域 都 有 广 泛 应 用 。 例 如 : 在 有 限 元 模 型 的 修 正 、 线 性 最 优 控 制 、 线 性 模 型 中 方 差 及 协 方 差 的 估 计 等 问 题 中 导 致 谱 约 束 下 矩 阵 方 程 最 佳 逼 近 解 问 题 。 正 是 这 些 领 域 提 出 的 许 多 不 同 类 型 的 问 题 刺 激 了 约 束 矩 阵 方 程 问 题 理 论 的 快 速 发 展 , 使 得 约 束 矩 阵 方 程 问 题 成 为 当 今 计 算 数学 领 域 最 热 门 的 研 究 课 题 之 一。 Hochstadt 于 1974 年 发 表 了 由 谱 数 据 构 造 Jacobi 矩 阵 的 研 究 论 文 2。 1978 年 ,de Boor 和 Golub1首 次 提 出 并 讨 论 谱 数 据 约 束 下 的 Jacobi 矩 阵 扩 充 问 题 ,亦 称 Double Dimemsion 问 题 。随 后 ,1991 年 张 振 跃 提 出 并 讨 论 了 缺 损 特 征 对 约 束 下 的 三 对 角 矩 阵 扩 充 问 题 3。2000 年 胡 锡 炎 、 张 磊 和 彭 振 赟 提 出 并 讨 论 了 缺 损 特 征 对 约 束 下 的 Jacobi 矩 阵 扩 充 问 题 4。2001 年 彭 振 赟 提 出 并 讨 论 了 线 性 约 束 下 的 实 矩 阵 扩 充 问 题 5。2003 年 彭 振 赟 在 其 博 士 论 文 中 比 较 系 统 地 阐 述 了 线 性 方 程AX = B 约 束 下 对 称 、双 对 称 、 对 称 次 反 对 称 矩 阵 的 扩 充 问 题6。 约 束 矩 阵 方 程 问 题 的 研 究 中 , 不 同 的 约 束 矩 阵 集 合 , 不 同 的 矩 阵 方 程 即 可 得 到 不 同 的 约 束 矩 阵 方 程 问 题 。 到 目 前 为 止 , 已 经 研 究 的 约 束 矩 阵 集 合 包 括 :( 反 ) 对 称 矩 阵 、( 反 ) 自 反 矩 阵 、 中 心 ( 反 ) 对 称 矩 阵 、 双 对 称 矩 阵 、 对 称 次 反 对 称 矩 阵 、 可 对 称 化 矩 阵 、 广 义 对 称 矩 阵 等 等 。 使 用 的 方 法 有 矩 阵 分 解 和 迭 代 法等。 对 于 简 单 的 矩 阵 方 程AX = B , 1984 年 张 磊 等 在 正 定 矩 阵 集 合 中 就 线 性 方 程 组 进 行 了 研 究 ,得 到 了 可 解 条 件 和 解 的 通 式 7。蒋 正 新 8、孙 继 广 9 ,1 0 在 1986 年 及 1987 年 就 一 般 矩 阵 类 的 情 形 进 行 了 详 细 的 讨 论 ,给 出 了 2 解 的 存 在 条 件 及 解 的 具 体 表 达 式 。1988 年 戴 华 在 他 的 博 士 论 文 中 首 次 提 出 并 研 究 了 Jacobi 阵 特 征 对 反 问 题11。2000 年 胡 锡 炎 ,张 磊 和 周 富 照 首 次 提 出 并 讨 论 了 对 称 正 交 对 称 矩 阵 逆 特 征 值 问 题 12。2002 年 周 富 照 系 统 地 讨 论 了 对 称 正 交 对 称 矩 阵 , 对 称 正 交 反 对 称 矩 阵 , 反 对 称 正 交 对 称 矩 阵 和 反 对 称 正 交 反 对 称 矩 阵 逆 特 征 值 、最 小 二 乘 等 问 题 13。2004 年 彭 亚 新 则 用 迭 代 法 研 究 了 矩 阵 方 程AX = B 的 一 般 解 、( 反 )对 称 解 、中 心( 反 ) 对 称 解 、( 反 ) 自 反 解 、 双 对 称 解等问题14。 对 于 矩 阵 方 程AXB = C , 1995 年 Penrose 得 到 了 它 存 在 一 般 解 的 充 要 条 件 和 通 解 表 达 式 15。 2001-2003 年 , 邓 远 北 利 用 矩 阵 对 的 标 准 相 关 分 解 ( CCD) 在 对 称 矩 阵 集 合 和 反 对 称 矩 阵 集 合 中 研 究 了 此 方 程 , 得 到 了 它 有 解 的 条 件 和 解 的 表 达 式 16。2003 年 ,廖 安 平 利 用 广 义 奇 异 值 分 解 研 究 了 它 在 对 称 半 正 定 矩 阵 集 合 中 的 最 小 二 乘 问 题 17。2004 年 ,彭 亚 新 用 迭 代 法 系 统 地 研 究 了 矩 阵 方 程AXB = C 的 一 般 解 、 对 称 解 、 中 心 ( 反 ) 对 称 解 、( 反 ) 自 反 解 、 双 对 称 解 与对称次反对称解等问题 14。 对 于 矩 阵 方 程 组 , 1991 年 , 陈 永 林 、 李 志 林 利 用 Kro-necker 积 和 广 义 逆 给 出 了 矩 阵 方 程 组A1XB1 = C 1 ,A2XB2 = C 2 一 般 解 的 充 要 条 件 和 通 解 表 达 式 18。1999 年 ,陈 永 林 用 迭 代 法 讨 论 了 矩 阵 方 程 组AX= C,XB = D 一 般 解 的 问 题 19 。 2001 , 年 姚 健 康 用 迭 代 法 解 决 了 当 矩 阵 方 程 组 A1XB1=C 1,A2XB2 = C2 相 容 且 A1 与A 2 及B 1 与 B2 分 别 同 型 时 一 般 解 的 问 题 2 0 。 2004 年 , 彭 亚 新 用 迭 代 法 研 究 了 矩 阵 方 程 组A1XB1 = C 1,A2XB2 = C 2 的 一 般 解 ,( 反 ) 对 称 解 , 中 心 ( 反 ) 对 称 解 ,( 反 ) 自 反 解 , 双 对 称 解 与 对 称 次 反 对 称 解 等 问 题 14。 2005 年 , 李 范 良 系 统 地 研 究 了 矩 阵 方 程 组 AX= B,XC =D 最 小 二 乘 自 反 解 与 反 自 反 解 、 最 小 二 乘 广 义 自 反 解 与 广 义 反 自 反 解 、 最 小 二 乘 次 对 称 解 与 次 反 对 称 解 、 最 小 二 乘 广 义 Hamiltonian 解与 广 义 反 Hamiltonian 解 及 其 最佳逼近解 21。
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