高中数学专题2.14等或不等解存在转化值域可实现（解析版）

高中数学专题2.14 等或不等解存在，转化值域可实现解析版【题型综述】 导数研究方程的根或不等式的解集 利用导数讨论方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围； 类似的，对于不等式，也可仿效此法 Zk.Com 【典例指引】 例1函数 1假设关于的方程在上有解，务实数的最大值； 2是否存在，使得成立？假设存在，求出，假设不存在，说明理由； 【思路引导】 1方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；2假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在学。科。网Z。K 例2函数的最大值为， 的图象关于轴对称 ()务实数的值；Zk.Com ()设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由 【思路引导】 () 由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。 ()由题知，那么，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，那么，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。 问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根， 即方程在区间上是否存在两个不相等实根， 令， ， 那么, 设, 那么， ， 故在上递增， 故，所以，故在区间上单调递增， 故方程在区间上不存在两个不相等实根， 综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是 点睛：1解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的根底，在得到单调性的根底上经过分析p 可使得问题得以解决。 2对于探究性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此根底上进展推理，看能否得到矛盾，假设得到矛盾，那么说明假设不成立；假设无矛盾出现，那么说明假设成立，从而说明所证明题成立。 例3函数为常数 1当在处获得极值时，假设关于的方程 在上恰有两个不相等的实数根，务实数b的取值范围； 2假设对任意的，总存在，使不等式 成立，务实数 的取值范围 【思路引导】 1对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；2利用导数求出在上的最大值，那么问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围 当时，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 假设，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 假设，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是 点睛：此题主要考察函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题在处理导数大题时，注意分层得分的原那么，一般涉及求函数单调性时，比拟容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会 【同步训练】 1设函数， ，曲线在点处的切线与直线平行 1求的值； 2是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？假如存在，求出；假如不存在，请说明理由 【思路引导】 1求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得； 2求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1 又， 所以存在，使 因为，所以当时， ，当时， ， 所以当时， 单调递增， 所以时，方程在内存在唯一的根 点睛：此题考察函数的单调性、极值，同时考察零点存在定理和分段函数的最值，考察运算才能，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原那么，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比拟容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要别离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比拟多，需要多加体会 2函数 1假设函数在其定义域内为增函数，务实数的取值范围； 3设函数，假设在上至少存在一点，使得成立，务实数的取值范围 【思路引导】 1由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；2将不等式有解问题，利用参变别离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围 那么原问题转化为在上至少存在一点，使得，即 时， ， ， ， ，那么，不符合条件； 时， ， 由，可知， 那么在单调递增， ，整理得 综上所述， 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决但要注意别离参数法不是万能的，假如别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法 3函数，其中 求的单调区间； 假设在上存在，使得成立，求的取值范围 【思路引导】 1函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间2假设不等式 在 上有解，那么在上， 但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论 2假设在上存在，使得成立，那么在上的最小值小于 当，即时，由1可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得， 当，即时，由1可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ； 当，即时，由1可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去 综上所述，实数的取值范围为 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比方：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有” 4函数 1假设在上递增，求的取值范围； 2假设，与至少一个成立，求的取值范围参考数据： 【思路引导】 1由题意可得在， 上递增，又在上递增，故或，解得或，即为所求。2结合1中结论及条件可得， 。分，和两种情况可求得或 2由1知， 在上单调递减，在上单调递增 ， 又， ， ， 当，即时，显然成立； 当，即时，可得或， 或 ， ， 或 综上或 所以的取值范围为。 点睛：函数单调性求参数取值范围的方法 1假设函数的单调区间容易求出，可转化为集合间的包含关系，在此根底上得到关于参数的不等式组求解。 2假设函数的单调区间不易求出，可利用在所给区间上恒成立解决，解题时可根据别离参数的方法求解出参数的范围。 5函数 假设，求函数的极值； 设函数，求函数的单调区间； 假设在区间上不存在，使得成立，务实数的取值范围 【思路引导】 1先求导数，再求导函数零点，列表分析p 导数符号，确定极值2先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性3正难那么反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合2单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果 ，； 当时， 在上递减，在上递增 令，那么 在递减， ， 无解， 即无解； 综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或 所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题有解，恒成立，无解等，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量别离转化为对应函数最值问题 6函数(为实常数) (1)假设,求曲线在处的切线方程; (2)讨论函数在上的单调性; (3)假设存在,使得成立,务实数的取值范围 【思路引导】 (1)求出切线的斜率， ，即可得出切线方程；(2) 1,e，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,那么易得结论 当时, 在上单调增, 的最小值为 当时, 在上单调减,在上单调增, 的最小值为学,科,网Z,K 因为 当时, 在上单调减, 的最小值为,Zk.Com ，综上, 7，其中 1求函数的极大值点； 2当时，假设在上至少存在一点，使成立，求的取值范围 【思路引导】 1求导，对进展四类讨论，得到极大值的情况；2在上至少存在一点，使成立，等价于当时， ，结合1的单调性情况，求，得到的取值范围 8函数 1假设，求的极值； 2假设存在，使得成立，务实数的取值范围 【思路引导】 1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；2问题转化为， 成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可 试题解析： 2存在，使得成立， 等价于， 成立 设 那么 令，解得： 舍，； 当， 在递减 令，解得： 当时， 在递减，在递增 与矛盾 综上， 9函数， 1求函数的单调区间； 2假设关于的方程有实数根，务实数的取值范围 【思路引导】 1函数求导，从而得单调区间； 2方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围 2由题得， 依题意，方程有实数根， 即函数存在零点 又 令，得 当时， 即函数在区间上单调递减， 而， 所以函数存在零点； 点睛：函数有零点求参数常用的方法和思路： 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2别离参数法：先将参数别离，转化成函数的值域问题解决； 3数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 10函数，且直线是函数的一条切线 1求的值； 2对任意的，都存在，使得，求的取值范围； 3方程有两个根，假设，求证: 【思路引导】 1对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；2对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；3根据题意得,两式相减得， ，所以，令，那么，那么，令，对求导，判断的单调，证明 (2) 由1得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得 (3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为 第 7 页 共 7 页