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四、应用性一一融入素养特色鲜明数学的实际应用基本思想数学知识应用高考数学中应用性包含两层意思，一层是应用数学知识解决社会生活中的实际问题，另一层是应用数学知识解决相关的数学问题，数学试题从头到尾处处都体现数学知识的应用，解决问题时注意以下两占.八、(1) 将实际问题建立数形模型进行求解，理清建模过程和数据处理,利用数据说话.(2) 应用数学知识解决相关数学问题时，注重分析问题，构建条件与结论的最短(最佳)解题链，坚持条件与结论的和谐相融.应用性命题目标真题回顾素养清单数学的实际应用统计图的基本知识，统计在实际生活中的应用及运算求解能力1.2018全国卷I某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：种鮭Jd昂2粗/心戸為吨|yWx如it逊初独茲构虫比倒则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a,则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：数据分析逻辑推理数学运算新农村建设新农村建祕村建设后后变化枫结论种植收入60%a37%X2a=74%a熠加A错其他收入4%5%X2“=IO%a增加一借以上1!对养殖收入30%“30%X2“=60%“增加了一倍C对养殖收入+第(30%+6%加(30%+28%)X2“超过经济收D对三产业收入=36%a=116%“入2“的一半故选A.用样本估计总体，逻辑思维能力在实际生活中的应用2.2019全国卷II我国咼铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为解析：依题意知，经停该站髙铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10X0.97+20X0.98+10X0.990910+20+10答案：0.98数据分析逻辑推理基本思相茎叶图、中位数与独立性检验思想，统计知识在实际生活中的应用，判断与运算求解能力3.2018全国卷III某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第一组工人用第一种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如卜茎叶图：璋一秤生产方式弟二种生产方直数据分析逻辑推理数学运算B655689987765433241445111&090(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.(2) 求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附.K2-n(ad_bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解才(i) l人中间至中，至多(ii) 【人完分钟任务人完钟；务平(iv)【人完最多种生分布称分P（K2三k）0.0500.0100.001的工需时工人时间效率的工85.5生产因此的工)分产任二种的工上的第二时间呈对成生1082k3.8416.635:8析：(1)第二种生产方式的效率更高理由如下：由茎叶图可知：用第一种生产方式，有75%的工人完成生产任务所-少80分钟，用第二种生产方式的有75%的工人完成生产任务所需79分钟因此第二种生产方式的更髙.由茎叶图可知：用第一种生产方式7成生产任务所需时间的中位数为用第二种生产方式的工人完成所需时间的中位数为73.5分钟.第二种生产方式的效率更髙.由茎叶图可知：用第一种生产方式云成生产任务平均所需时间髙于8(用第二种生产方式的工人完成生均所需时间低于80分钟因此第生产方式的效率更髙.由茎叶图可知：用第一种生产方式7成生产任务所需时间分布在茎8_关于茎8大致呈对称分布；用:一产方式的工人完成生产任务所需1在茎7上的最多，关于茎7大致一布又用两种生产方式的工人完产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更髙.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.卄1e厶79+81(2)由茎叶图知m=2=80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515t亍40(15X155X5)2(3)由于K2=2丿卫J八20X20X20X20106.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.基本思相频率分布直方图，学生识图能力、阅读能力4.2019全国卷III为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：fttt025MTS乙百介ttairiR记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1) 求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；(2) 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为数据分析逻辑推理数学运算代表)解析：由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=l0.050.150.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.高考小题集训（四）1. 2019湖南衡阳联考已知集合A=0,1,2,3,B=xllog2（3-x）0,则AQB的子集个数为（）A.2B.3C.4D.8解析：由已知可得B=xlx2，所以AQB=0,1，所以AQB的子集个数为22=4.故选C.答案：C2. 2019天津模拟已知A=log27,B=log38,c=0.30-2，则a,b,c的大小关系为（）A.cbaB.abcC.bcaD.cab解析：本题考查指数函数与对数函数的图象和性质；通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.显然C=0.3O-2E（0,1）.因为log33log38log39，所以1blog24=2,所以a2.故cba.选A.答案：A3. 2019江西第一次大联考已知命题p：“对任意的x$l,lnx$0”的否定是“存在上1,In%0”，命题q：“0K0,解得一1k1-：AO在AB上的投影为2IABI=2，1-AO在AC上的投影为2IACI=1，：AO（AB+AC）=AOAB+AOAC=2IABI+IACI=10.故选C.答案：C8.2019江西赣州测试在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,4b,c,已知cosA=5，b=5c，则sinC的值为（）述510BD:210左5A.C解析：TcosA=5，b=5c,4.a2=b2+c22bcX5=18c2,又sinA=“J1cos2A=35,sinC=csi=為故选A.答案：A9.2019山东济南外国语学校月考在正项等比数列a中，存在n14a5+2a4,则m+n的最小值是（）两项a,amA25C.2,使得、：aa=4a，且a=mn167B.33D2设数列an的公比为q,.a6=a5+2a4,q=2,m+n=6,1.1.41解析：qm+n_2=16,又q0,丄+4mn当且仅当2m=n时取等号，143m+n的最小值为y故选d.:aa=4a且a0,mn1n*.q2q2=0,（5+4m+m禺,答案：D10.2019四川成都一诊在各棱长均相等的直三棱柱ABCABC中，已知M是棱BB的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为（）B.1D.解析：通解取AA1的中点P,连接PN,PB,则由直三棱柱的性质可知AMPB,则ZPBN为异面直线A1M与BN所成的角（或其补角）.2设三棱柱的棱长为2,则PN=.j2PB=5BN=Q,所以PN2+BN2=PB2，所以ZPNB=90/在RtPBN中，tanZPBN=BN=害，故选C.优解以N为坐标原点，NB,NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2，则N（0,0,0），A，1,2），BG,/3,0,0），M（、Q,0,1）,所以NB=(/3,0,0)，AM=(：31，1).设直线AM与BN所成的角为d,廿八NBAMl3屈则cos0=cosNB,AM=1=1NB.aF51则sin0=,tan0=，故选C.答案：C11.2019福建厦门一模已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F,点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为()A.y2=4xB.y2=8xC.y2=10xD.y2=16x解析：由抛物线y2=2px(p0)，可得F(2,0),由线段AF的中点坐标为(2,2),可得A(42,4),又点A在抛物线C上，代入抛物线C的方程可得16=2p(42)，得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x,故选B.答案：B1px12. 2019福建质量检查已知函数几兀)=1巧三+兀，且f(a)+f(a+1)0,则a的取值范围为()11)11,)C.2，1D.，+gk2丿k2丿A.1,1)2丿(1)B.2，0k21px解析：由ix0,可得一1x0Ma)一Aa+1)f(a)/(a1)，aa1，则有1a1，解得一2a0，、一1(a+1)1,(1)即a的取值范围为2，0,故选B.答案：B13. 2019重庆学业质量抽测已知复数Z=1+2i,Z+z2=2+i,则Sz2=解析：由已知条件得z2=2+iZ=2+i(1+2i)=1i,所以z”z2=(1+2i)(1i)=3+i.答案：3+i14. 2019宁夏育才中学月考已知圆x2+y28x=0上存在两个不同的点关于直线2xy+m=0对称，则实数m=.解析：x2+y28x=0化为标准形式是(x4)2+y2=16，则圆心坐标为(4,0)，半径r=4，由题意，知直线2xy+m=0经过圆心(4,0),所以2X40+m=0,解得m=8.答案：一815. 2019广东肇庆联考某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：价格/万元2523.52220.5月销售量/辆30333639A已知A型汽车的月销售量y(辆)与价格x(万元)符合线性回归方程y
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