如何理解二次函数与一元二次 方程 的关系

如何理解二次函数与一元二次方程的关系如何理解二次函数与一元二次方程的关系南京师大附中新城初中南京师大附中新城初中 叶旭山叶旭山观察这个函数的图象，你发现了什么？观察这个函数的图象，你发现了什么？当当y=0时，时， 即相应的一元二次方程即相应的一元二次方程ax2+bx+c=0，于是方程于是方程ax2+bx+c=0的根就是交点的横坐标的根就是交点的横坐标问题问题1： 如何求二次函数如何求二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的交点坐标？轴的交点坐标？一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同实数根有两个不同实数根时，抛物线与时，抛物线与x轴有两个不同交点；轴有两个不同交点；一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相同实数有两个相同实数根时，抛物线与根时，抛物线与x轴有唯一的交点；轴有唯一的交点；一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根时，没有实数根时，抛物线与抛物线与x轴无交点轴无交点问题问题2：二次函数：二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的交轴的交点个数取决什么？点个数取决什么？ y=x22x3观察下列函数图像，你能得到对应的一元二观察下列函数图像，你能得到对应的一元二次方程次方程x22x3=0的根的情况吗？的根的情况吗？一元二次方程一元二次方程x22x3=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根一元二次方程一元二次方程x22x3=0两个根为两个根为1，3y=x22x+3观察下列函数图像你能得到对应的一元二观察下列函数图像你能得到对应的一元二次方程次方程x22x+3=0的根的情况吗？的根的情况吗？一元二次方程一元二次方程x22x3=0没有实数根没有实数根y=x26x+9观察下列函数图像你能得到对应的一元二观察下列函数图像你能得到对应的一元二次方程次方程x26x+9=0的根的情况吗？的根的情况吗？一元二次方程一元二次方程x26x9=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根数形结合，理解本质数形结合，理解本质二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象与的图象与x轴的交点坐标，轴的交点坐标，本质上对应着本质上对应着y=ax2+bx+c与与y=0这两个方程的公这两个方程的公共解，也就是二者组成的方程组的解共解，也就是二者组成的方程组的解 交点的坐标交点的坐标 方程组的解方程组的解于是，交点的横坐标就是相应的一元二次方程于是，交点的横坐标就是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根 交点的横坐标交点的横坐标 一元二次方程的根一元二次方程的根学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题1：你能利用图象写出：你能利用图象写出x24x+3=0的两个根吗？的两个根吗？x24x+3=0的两个根的两个根分别为分别为1，3学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题2：你能利用图象写出：你能利用图象写出x24x+30的解集？的解集？1x 3学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题3：你能利用图象写出：你能利用图象写出x24x+30的解集？的解集？x 1或或x3数形结合，理解本质数形结合，理解本质二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象位于的图象位于x轴上方（或下轴上方（或下方），本质上对应着方），本质上对应着y=ax2+bx+c与与y0（或（或y0）这两个区域的公共部分，也就是二者组成的）这两个区域的公共部分，也就是二者组成的不等式组的解集不等式组的解集 平面内某一区域上自变量的取值范围平面内某一区域上自变量的取值范围 不等式组的解集不等式组的解集学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题1：你能利用图象写出：你能利用图象写出 x24x=0根吗？根吗？x24x+3=0的两个根的两个根分别为分别为0，4学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题2：你能利用图象写出不：你能利用图象写出不等式等式x24x0的解集吗？的解集吗？0 x4学会读图y=x24x+3学会读图学会读图问题问题3：你能利用图象写出不：你能利用图象写出不等式等式x24x0的解集吗？的解集吗？x 0或或x4数形结合，理解本质数形结合，理解本质二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象位于某条直线上方的图象位于某条直线上方（或下方），本质上对应着（或下方），本质上对应着y=ax2+bx+c与与ykx+b（或（或ykx+b ）这两个区域的公共部分，）这两个区域的公共部分，也就是二者组成的不等式组的解集也就是二者组成的不等式组的解集 平面内某一区域上自变量的取值范围平面内某一区域上自变量的取值范围 不等式组的解集不等式组的解集学会读图思考题：思考题：y=x24x+3y=x+3观察图象，你能提出哪些问题？观察图象，你能提出哪些问题？学会读图数形结合数形结合 理解本质理解本质y=x24x+3y=x+3问题问题1：你能利用图象直接写：你能利用图象直接写出出x24x+3= x+3的根吗？的根吗？问题问题2：你能利用图象直接写出：你能利用图象直接写出x24x+3 x+3的解集吗？的解集吗？问题问题3：你能利用图象直接写出：你能利用图象直接写出x24x+3 x+3的解集吗？的解集吗？数形结合，理解本质数形结合，理解本质二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象位于某条直线上方的图象位于某条直线上方（或下方），本质上对应着（或下方），本质上对应着y=ax2+bx+c与与ykx+b（或（或ykx+b ）这两个区域的公共部分，）这两个区域的公共部分，也就是二者组成的不等式组的解集也就是二者组成的不等式组的解集 平面内某一区域上自变量的取值范围平面内某一区域上自变量的取值范围 不等式组的解集不等式组的解集