上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算第1页第#页矩阵的概念第#页第#页1)1、形如33丿51212836383623212823m、3-2441-n丿23m13-242这样的矩形数表叫做矩阵41-n4丿2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量q,y)称为行向量垂直方向排列的数组成的向量称为bJn第#页第#页mxn阶矩阵可记做Amxn列向量由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mxn阶矩阵,第#页第#页512x1阶矩阵，可记做A-；矩阵36232x1213836为3x3阶矩阵，可记做A。有时矩阵也可用A、2128丿3x3B等字母第#页表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个mxn阶矩阵A中的第imxn(im)行第j(jn)列数可用51字母a.表示，如矩阵3623ij21382128、36第3行第2个数为a28丿二21。324、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000、0丿为一个2x3阶零矩阵。第#页5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行(列)，可称此方阵为n512128、阶方阵，如矩阵363836232128丿23m、3-24均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有41n_10)元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1,其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵0为201100、阶单位矩阵，矩阵010为3阶单位矩阵。001J6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A=B。2x3ymz二17、对于方程组3x一2y+4z二2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵(23m做方程组的系数矩阵；而矩阵324141n应用举例：(2-x(x-y例1、已知矩阵A=-一,B=2xa+2b丿y4x+y一nz二423m、，我们叫3 -2441ni2叫做方程组的增广矩阵。4 Jb2a)且A二B，求a、b的值及矩阵A。x+y2丿例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：x+2y3z+2=0(2)x+3y+2z5=0例3、例4、已知矩阵Zsma+cosasinp+cosp0)1为单位矩阵,1丿且a,p壬,兀“2丿求sin(a-卩)的值。2xy+z+3=0235、(2)(21022、103124丿丿302-3丿已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：1)矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；个列向（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后量给出了方程组的解。应用举例：4 x3y-z，5例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x+2y+z,4的解。5 x-2y-3z，8Iax+3y，2例2、运用矩阵变换方法解方程组：2x-y,b（a、b为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：Ix+y，2（1）若方程组门:门“，的解x与y相等，求k的值。（k-1）x+（k+1）y，43x一2y+z，0(3)解方程组：x+y+2z，55x一7y+8z，一1矩阵运算(对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.)1相等定义如果两个矩阵A，bijsxp满足：第4页(1) 行、列数相同，即m，s,n，p；(2) 对应元素相等，即aij=bij(i=1,2,m；j=1,2,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B(由矩阵相等定义可知，用等式表示两个mxn矩阵相等，等价于元素之间的mxn个等式.)例如，矩阵那么A=B,当且仅当而a11=3，a12=0，a13=-5a21=-2，a22=1，a23=4aaa-30-A=111213，B=aaa一21421222311第#页第#页ccC=1112cc2122因为B,C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素C,c12,c21,c22取什么数都不会与矩阵B相等.2加法第#页第#页定义2.3设A，ijmxnijsxp是两个mxn矩阵,则称矩阵第#页第#页a+b1111a+b2121a+bm1m1a+b1212a+b2222a+bm2m2a+b1n1na+b2n2na+bmnmn第5页第#页为A与B的和，记作例1设矩阵A=例2、矩阵A二0422131求A+B,AB.fcosacostana0、/00、仝，Btantanatan丿，C101丿-17丿“,若A+BC,Q”(0,),C=A+B=L,bijij由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.)同样，我们可以定义矩阵的减法：D=A-B=A+(-B)=b-ijij称D为A与B的差.第6页第#页兀、.a,卩”(-,“)，求sin2的值。矩阵加法满足的运算规则是什么？设A,B,C,O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1. 加法交换律：A+B=B+A；2. 加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；3. 零矩阵满足：A+O=A；3数乘定义2.44. 存在矩阵-A,满足：A-A=A+(-A)=O.为数-与矩阵A的数乘，其中设矩阵A=L,-为任意实数，则称矩阵C=L-ijmxnc-a(i1,2,m;jl,2,n)，i己为ijijC=-A(由定义2.4可知，数-乘一个矩阵A，需要用数-去乘矩阵A的每一个元素特别地，当-=-1时,-A,得到A的负矩阵.)3-17,例3设矩阵A=-405，用2去乘矩阵A,求2A.260bi.mxn满足以下运算规则：数乘矩阵满足的运算规则是什么？对数k,l和矩阵A=L.,B=jmxn1. 数对矩阵的分配律：k(A+B)=kA+kB；2. 矩阵对数的分配律：(k+l)A=kA+lA；3. 数与矩阵的结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)4. 数1与矩阵满足：1A=A.4乘法矩阵乘积的定义设A=个mxs矩阵,i.B=个sxn矩阵，则称mxn矩阵C二L为矩阵i.i.3-2,4-3,例4设矩阵A=50，B=8216-17求3A-2B.第8页第#页A与B的乘积，记作C=AB.其中c.=a.b.+a2b2.+a.b.=厶ab(i=1,2,，m；j=1,2,，n).i.i11.i22.iss.ikk.k-1(由矩阵乘积的定义可知：)(1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A,B才能作乘法运算AB;(2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；(3) 乘积矩阵AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例62-1,-409-8,，B=-710，计算AB.35设矩阵A=24,2-2,例7设矩阵A=12，B=-11求AB和BA.由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵(A丰O,B丰O)，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵(AB=O)，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵因此，当AB=O,不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB=AC，且A丰O时，不能消去矩阵A,而得到B=C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则：1. 乘法结合律：(AB)C=A(BC)；2. 左乘分配律：A(B+C)=AB+AC；右乘分配律：(B+C)A=BA+CA；3. 数乘结合律：k(AB)=(kA)B=A(kB)，其中k是一个常数.例8：已知A二1)0，矩阵B=0丿，求AB。第9页第#页练习：计算下列矩阵的乘法第#页第#页1)(aa12(bb12第#页例9、已知矩阵A,f（MB,x1-x，C=2a若A=BC，求函数f（x）在1，2上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式2）2x一y+3z，14x一2y+3z，1。2x一y+4z，-1例11：若AB，BA，矩阵B就称为与A可变换,“01），求所有与A可交换的矩阵B。1”课堂练习与课后作业一、选择题1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件是C、充要条件D、既不充分又不必要条件2x+3y，22、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组小1其中正确的是（）lx-2y二-1A、-2-1B、-2-1第10页-232第#页C、1-2|_y1D、-21-1第#页3、/21,-14，03，B201453.若A,且2A3XB，则矩阵X4、点A(1，2)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是5、已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b=6、若点A(2222cosasina7、若点A在矩阵12sinacosa对应的变换作用下得到的点为(1,0)，那么a=对应的变换作用下下得到的点为(2,4),那么点A的坐标为-1cosa+sina128、已知Acospsinp1,B21若A=B，那么a+B=9、设A为二阶矩阵，其元素满足，aij+a0i=1，2,jiji，2,且&12312，那么矩阵A=11、12、13、14.15、rx4,r1u,A,B16y丿2,neN*)；11丿2.将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:戸-2尹-11，0；2x+y-5，0第12页第#页1113.2-2320、x、-2、-13丿y丿7丿贝9x+y，4、已知矩阵A，f(x),cosx-2sinxcosxsinx-若A=BC,求函数f(x)在0,-上的最第#页小值.第13页