三角形的五心问题

AB2+3GC2=I（AB2+AC2+BC2）自主招生讲座平面几何5三角形的五心问题一重心：中线交点1.AG:GD2:12AD21AB2+AC2一1BC22243.SSAGBC3AABC4X1）BC2+3GA2CA2+3GB2=（2）GA2+GB2+GC2=1（AB2+AC2+BC2）（3）GA2+GB2+GC2最小。二外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。如图，OE丄BC交BC于D。1. OAOBOCR2. BOC=2A（非钝角三角形）BOC=2（180一A）（钝角三角形）3.BD=DC,BE=Ec小abc4.S=AABC4R三内心：角平分线交点，内切圆圆心。设AABC的内切圆O切边AB于点P，AI（I为内心）的延长线交外接圆于D，内切圆半径为r，则1.BIC=90+22AP=rcot=223. DB=DC=DIr4. S=（a+b+c）AABC2四垂心：高线的交点D设O,G,H分别是AABC的外心、重心和垂心,OD丄BC于D，AH的延长线交外接圆于，则1. AH2OD2. H与H关于BC成轴对称。1AHGODF3. BCH与ABC的半径相同。4. ABH=CBO,BCO=ACH,BAH=CAO124.S=丄r(bc-a),ABC21例1:如图，设I是，ABC的内心，M,N分别是边AB,AC上的点，且使得ABI=NIC,ACI=MIB。求证：点M,N,I三点共线。例2：BC为圆O的直径，A为圆O上一点，0AOB120，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于10OA的垂直平分线交O于E,F。求证:I是，CEF的内心。例3：点A在KMN内，点B在KM上，点C在MN上。若CBM=ABK,BCM=ACN.求证：ABCM的外心在AM上。例4:设O为AABC的外心，AB=AC,D是AB中点，G是,ACD的重心，连接AO并延长交CD于M，连接CG并延长交AB于E。求证：0G丄CD.例5：在锐角AABC中，ACBC,AD丄BC于D，BE丄AC于E，AB=2DE,0,I分别是AABC的外心和内心，取AB的中点M，连接EM,DM,AO,BO,BI.求AIO.作业：1.如图，I是ABC的内心，I关于边BC,CA,AB的对称点分别为A,B：C.证明：若A2.如图，在ABC中,A的平分线与外接圆交于点D,I是内心，M为BC中点，P为I关于M的对称点，延长DP与外接圆相交于N。求证：线段AN,BN,CN中有两个的和等于第三个。（提示：面积法）C3.已知在ABC中,由点A分别向,B和,C的平分线引垂线，垂足分别为A和A，同理,12定义B,B和C,C求证：2（AABBCC）=ABBCCA.（52页）1212121212