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全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。例1.如图，A,F,E,B四点共线，AC丄CE，BD丄DF，AE=BF，AC=BD。求证：,ACF=,BDE。C例2.如图，在,ABC中，BE是ZABC的平分线，AD丄BE,垂足为D。求证:2=1+C。例3.如图，在,ABC中，AB=BC，ABC=90。F为AB延长线上一点，点E在BC上,BE=BF，连接AE,EF和CF。求证：AE=CF。一例4.如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD。例5.如图，AP,CP分别是MBC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证:BP为MBN的平分线。例6.如图，D是ABC的边BC上的点，且CD=AB,ADB=,BAD,AE是ABD的中线。求证：AC=2AE。例7.如图，在ABC中，ABAC,1=,2,P为AD上任意一点。求证:ABACPBPC。全等三角形综合复习7月22日作业,AEB=100，,ADB=30，则,BCF二,AEB=100，,ADB=30，则,BCF二一、选择题:1. 能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC的是（）A.AB二3，BC二4，CA二8b.AB=4，BC二3，,A=30C.,C=60，,B=45，AB二4d.，C=90，AB二6I*3. 如图，已知,1=，2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；晶BC=ED，C=，D；，B=,E。其中能使仑=AED的条件有（）D.1个4.如图，,1=,2，B.3个C.2个）B.CE二DED.EAB是等腰三角形A.4个A.,DAE=,CBEC.DEA不全等于CBE5.如图，已知AB=CD，BC=AD，,B=23，则,D等于（）A.67B.46”C.23D.无法确定二、填空题：6.如图，在ABC中，,C=90，/ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD二2:3,AC二10cm，则点D到AB的距离等于cm；7.如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是BD上的两点，且BE=DF，若,AEB=100，,ADB=30，则,BCF二&将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为9.如图，在等腰RtAABC中，C，90，AC，BC，AD平分BAC交BC于D,DE丄AB于E，若AB，10，则ABDE的周长等于；10.如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB/CD,AE/CF,且AE，CF，若BD，10,BF=2，贝ijEF=；二、解答题：11.如图，AABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上,且BM，CN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。12.如图，ACB，90，AC，BC，D为AB上一点，AE丄CD，BF丄CD，交CD延长线于F点。求证：BF,CE。答案例1.思路分析：从结论ACF=BDE入手，全等条件只有AC，BD；由AE，BF两边同时减去EF得到AF，BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF，DE，也可以是ZA=ZB。由条件AC丄CE，BD丄DF可得ZACE，ZBDF，90，再加上AE，BF，AC，BD，可以证明ACE二BDF，从而得到ZA，ZB。*I解答过程：tAC丄CE，BD丄DF”ZACE，ZBDF，90在RtACE与RtBDF中JAE，BF-AC，BD:.RtACE=RtBDF(HL)ZA，ZB,AE，BF:.AE-EF，BF-EF，即AF，BE在ACF与BDE中JAF，BE:ZA，ZBAC，BDACF=BDE(SAS)解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。例2.思路分析：直接证明Z2，Z1ZC比较困难，我们可以间接证明，即找到Z以，证明Z2，Za且Za，Z1ZC。也可以看成将Z2“转移”到Za。那么Za在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了FBD,可以通过证明三角形全等来证明Z2=ZDFB，可以由三角形外角定理得ZDFB=Z1+ZCO解答过程：延长AD交BC于F在ABD与FBD中ZABD，ZFBD:BD，BDABD=FBD(ASAZ2，ZDFBZADB，ZFDB，90又-ZDFB，Z1ZC-Z2，Z1ZC。解题后的思考:由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：tZABC，90，F为AB延长线上一点ZABC，ZCBF，90在ABE与CBF中一AB，BC-ZABC，ZCBFBE，BF:.ABE=CBF(SAS)AE，CF。解题后的思考:利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。解答过程：连接ACAB/CD，AD/BCZ1，Z2，Z3，Z4在ABC与CDA中Z1，Z2AC，CAZ4，Z3ABC=CDA(ASA)AB，CD。解题后的思考:连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“BP为ZMBN的平分线”可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是ZMAC和ZNCA的平分线”也需要作出点P到两外角两边的距离。解答过程：过P作PD丄BM于D,PE丄AC于E,PF丄BN于FAP平分ZMAC,PD丄BM于D,PE丄AC于E,PD=PE:CP平分ZNCA,PE丄AC于E,PF丄BN于F,PE=PFPD=PE,PE=PF,PD=PFPD=PF，且PD丄BM于D,PF丄BN于F,BP为ZMBN的平分线。解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。例思路分析：要证明“AC=2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF=AE。解答过程：延长AE至点F，使EF=AE，连接DF在ABE与FDE中AE=FE:ZAEB=ZFEDBE=DE:.ABE=FDE(SAS),ZB=ZEDF:ZADF=ZADB+ZEDF，ZADC=ZBAD+ZB又-ZADB=ZBAD,ZADF二ZADC:AB=DF，AB=CD,DF=DC在ADF与ADC中AD=AD:PB-PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB-AC。而构造AB-AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：法一：在AB上截取AN，AC，连接PN在AAPN与AAPC中AN，ACZ1，Z2、AP，APAAPN=AAPC(SAS)PN，PC在ABPN中，PBPNBNPBPCPBPC。法二：延长AC至M，使AM，AB，连接PM在AABP与AAMP中AB，AM:PMPC:.ABACPBPC。解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。一、选择题：1.A2.C同步练习的答案3.B4.C5.C二、填空题：6.47.708.909.1010.6三、解答题：i1h1、11. 解：ABC为等边三角形AB，BC，ZABC，/C，60在ABM与BCN中AB，BC1 ZABC，ZC、BM，CN:.ABM=BCN(SAS).ZNBC，ZBAM.ZAQN，ZABQ+ZBAM，ZABQ+ZNBC，60。12. 证明：tAE丄CD，BF丄CD).ZF，ZAEC，90.ZACE+ZCAE，90:ZACB，90:.ZACE+ZBCF，90:.ZCAE，ZBcFI*在ACE与CBF中-1ZF，ZAEC ZCAE，ZBCFAC，BC:.ACE=CBF(AAS).:BF，CE。
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