空间平面方程

2021/8/61平面的确定条件平面的确定条件返回下一页上一页平面的一般方程平面的一般方程点法式方程点法式方程两平面夹角两平面夹角2021/8/62平面的确定条件平面的确定条件 由立体几何知道，过空间一点可以而由立体几何知道，过空间一点可以而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面利用这个结论，若平面经过一定点面利用这个结论，若平面经过一定点M0(x0,y0,z0), 且与向量且与向量n=A,B,C垂直垂直, ,则则这个平面就唯一确定了这个平面就唯一确定了 与平面垂直的非零向量称为该平面的与平面垂直的非零向量称为该平面的法向法向 量量那么，可以确定平面的两个条件是：那么，可以确定平面的两个条件是：返回下一页上一页2021/8/63返回下一页上一页).,()1(0000zyxM经经过过定定点点.,)2(CBAn 平平面面的的法法向向量量下面我们利用以上结论建立平面的方程下面我们利用以上结论建立平面的方程2021/8/64 现在来建立平面现在来建立平面 的方程的方程. .设平面设平面 过点过点,),(0000zyxM是平面是平面 的法向量的法向量. . 在平面在平面 上上任取一点任取一点 M(x, y, z)，则点则点 M 在平面在平面 上的充要条件是上的充要条件是,n0 MM.0n0 MM即即nMM0 .,CBA n二、二、 点法式方程点法式方程返回下一页上一页2021/8/65该方程称为平面该方程称为平面 的的点法式方程点法式方程. ., 0)()()(000 zzCyyBxxA ,0000zzyyxxMM 因因为为所以有所以有 ,nCBA 返回下一页上一页2021/8/66例例 5-10 求过点求过点(2, 1, 1)且且垂直于向垂直于向量量 i + 2j + 3k 的平面方程的平面方程 . . 解解 所求平面的法向量所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ，又因为平面过又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得所以由公式可得该平面方程为该平面方程为, 0)1(3)1(2)2( zyx即即 x + 2y + 3z7 = 0 .返回下一页上一页2021/8/67解解所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx例例5-115-11 求过三点求过三点) )4 4 , ,1 1, ,2 2( ( - -A A、) )2 2, ,3 3 , ,1 1( (- - -B B和和) )3 3 , ,2 2 , ,0 0( (C C的平面方程的平面方程. .返回下一页上一页,1, 3 , 2,6, 4 , 3 ACAB取取,1,9,14 ACABn2021/8/68由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 返回下一页上一页2021/8/69平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0) 3 ( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. .0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形返回下一页上一页2021/8/610例例 5-125-12 设一平面通过设一平面通过 x 轴和点轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程试求该平面的方程. .解解因为所求平面通过因为所求平面通过 x 轴，轴， 所以可设所以可设它的方程为它的方程为By By + + Cz Cz = 0 .= 0 .由于点由于点 M M 在所求的平面上，在所求的平面上， 因此有因此有 3 3B B C C = 0 = 0 ，将将 C = 3B 代回方程代回方程 ，并简化，即得并简化，即得所求平面方程为所求平面方程为y 3z = 0返回下一页上一页2021/8/611 设平面设平面两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角称为两平面的称为两平面的夹角夹角. .,011111 DzCyBxA .022222 DzCyBxA 它们的夹角为它们的夹角为 . .222222212121212121CBACBACCBBAA 212121),(coscosnnnnnn 返回下一页上一页2021/8/612返回下一页上一页则平面则平面 1、 2 垂直的充要条件是垂直的充要条件是A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；平行的充要条件是平行的充要条件是.212121CCBBAA 2021/8/613例例 5-135-13 求两平面求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与与2x + y + z 5 = 0 的夹角的夹角 . . 解解由公式由公式 得得2222221122) 1(1212 cos,21 .3 所所以以返回下一页上一页