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共轭复数的性质上海市奉贤中学余意教学目的:1、掌握共轭复数的性质,并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广;2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题,提高数学符号变换的能力,培养学生类比推广思想、从特殊到一般的方法和探究方法。3、力求激发学生学习的兴趣,让学生体验探索研究的乐趣,努力创设以学生为中心的课堂研究氛围。教学重点:共轭复数性质的探究。教学难点:共轭复数性质的应用。教学过程:复习共扼复数概念:共扼复数:实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数的共扼复数用;表示。若z=a+bi,则z=abi(a,bUR)互为共扼的两复数所对应的点关于轴对称。研究复数的模、i;发现1:Iz丨=“a2b2,z=*a2b2研究结论:丨z1=z(学生说出)发现2:z+z=2a,zz=2bi共扼复数之和为实数,共扼复数之差为纯虚数?(后半句不正确!)若b=0(z是实数),则zz=0,即z=z(逆命题成立吗?)若a=0,则z+z=0,即z=z(如何深入研究?)研究结论:z=zzUR(学生证明)研究结论:z=zzHOz为纯虚数(学生证明)j发现3:zz=a2+b2(联想到丨z丨=a2b2)研究结论:丨zl2=Zz非常重要的一个结论:复数与实数进行转换注意:丨Z|2z2,特别地IZ1时,zz1让学生各自找两个复数,如Z=l+2i,z_=34i,计算:(1)z+z(2)z+z121212解:(1)z+z=1+2i+34i=(12i)+(3+4i)=4+2i12(2)z+z=(1+2i)+(34i)=42i=4+2i12发现3:z+z=z+z是否巧合?能否证明?1212思考:能否推广到减法、乘法、除法运算?研究结论5:(1)z+z=z+z(z2)z=zz12121212z(4z二3)zz=zz)=zH021212z2z2思考:能否推广到个复数的运算?z+z+z=z+z+zzzz=zzz12n12n12212n特别地,若z=z=z=z,则zn=(zn12n练习()zzR是复数zR的条件。(2)zR是zi为纯虚数的条件。练习:设z,z为非零复数,Azzzz,则A是()121212a虚数、实数、纯虚数、实数或虚数例题、若复数z满足Iz1,请问z丄是实数吗?若是,请证明。若不是,请说明理由。z作业:1、走进新课程P738、9P7482已知z为虚数,且zH土i,若一一为实数,求IzI。1.Z2共轭复数的性质教案说明一、教材分析数的概念是人类社会的生产和生活中产生和发展起来的,数学理论的研究和发展也推动着数的概念的发展,数已经成为现代社会生活和科学技术时刻离不开的科学语言和工具。那么把实数集扩充为复数集,建立复数的代数运算结构,从而充分认识数学内部的矛盾和运动对数学发展的作用。本节课是学习了复数的有关概念、复数的运算基础上,进一步探究共轭复数的性质,是对复数概念的进一步深化,从而进一步提高数学符号变换的能力,为实系数一元二次方程的解学习设下伏笔。二、学生分析实数在学生的脑海中根深蒂固,所以建构复数内有关概念及其运算时,经常会受到实数内经验的干扰,比如绝对值对复数模的负迁移;由Iz|2z2引起的负迁移等。所以本人在教学中重视学生以往经验对数学学习的作用,了解学生已有的认知结构及其建立的背景,在学习复数的相关概念和运算后,继续探究共轭复数的性质。让学生充分认识在实数内成立的法则、公式、及其它一些性质,不一定在复数范围内成立,并进一步深化复数集中实数、纯虚数的概念。由于4班的学生思维敏捷,有独创性、钻研性,所以课堂上可以推行竞争学习的方式,既可提高学生探索的能力,也可培养学生求真的学习态度。三、目标分析高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“应用”的层次,即能综合地、灵活地、创造性地运用所学的数学知识和技能来解决有关问题。根据上述这些分析,教学目标的设计分成以下三方面:1、掌握共轭复数的性质,并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广;2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题,提高数学符号变换的能力,培养学生类比推广思想,从特殊到一般的方法和探究方法。3、力求激发学生学习的兴趣,让学生体验探索研究的乐趣,努力创设以学生为中心的课堂研究氛围。实际上,互为共轭的两个复数的性质是通过复数运算得到的结论,所以本节课的重点是探究共轭复数的性质。由于复数的模、共轭复数的实部、虚部是实数,而在复数学习中,复数实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法,但学生不容易顺利地及时转换概念,更不容易灵活运用共轭复数的性质,所以共轭复数性质的应用便成了本堂课的难点。四、过程分析改变学生的学习方式,推进学生数学素养的发展,主要取决于学生主体意识的形成和对学生主体参与能力的培养。在这堂课的设计中,从课题的引入到问题的研究都以此为目标:1、课题引入:通过共轭复数的对称性,让学生体验数学对称美,并且在探究共轭复数性质的过程中感受数学的简单美,从而激发学生学习的兴趣。2、课堂中研究结论2、3实质上是两个特殊复数的四则运算,从而进一步加强学习了复数的运算,并且深化了实数、纯虚数的概念,这是本章学习的重点之一;研究1,4是与复数的模相关的性质,复数的模是本章学习的重点也是难点,重要性在于它既是复数的几何特征之一,也在于是复数问题实数化的途径之一。通过性质探究的过程,可对实数与复数进行比较学习,让学生知道Iz|2z2在实数集成立,而在复数集是不成立的。问题5是共轭复数的四则运算,利用从一般到特殊的方法进行探究,并进行类比推广,进一步培养学生的符号变换能力,提高学生的探究能力。五、方法分析本节课,采用“探究发现式”教学模式为学生创设了探究知识的情景,从而充分调动学生学习数学知识的积极性,使学生有自主发现知识、创造性地解决问题的时间、空间。六、评价分析通过探究共轭复数的性质的过程,提高学生辨析概念的能力,以严格地论证来说明学习数学是需要求真的态度和科学的方法。本节课设想是采用“探究发现式”的教学模式来授课,可是结论1、结论2已经在前两节课的学案上出现了,对于学生来说共轭复数的性质不陌生,我预测课堂上学生探究共轭复数性质的积极性不高,所以我上课时采用师生共同研究的方式来解决前四个结论,练习1是学生自己独立完成。可是在讲解中,激情不够高,搞得声音轻,问的“问题”也没切中要害,渐渐地,学生发言的主动性降低。幸运的是,学生做完练习2后,我请祝贺同学回答解法时,他回答“没计算,是看出来的”,就这句话,全体学生哄堂大笑,学习氛围又调动起来了,学生的学习积极性高涨,我也更加兴奋了但是,此题的另外两种方法是本人讲授的,如果本人引导后,给学生充足的时间,让学生去想、去发现Az:Zz可以整体代换,只需求A或者求z:,那么就相当成功,可是本人“包办”121212了,担心例题没时间讲。明显地,时间安排不够合理,课前准备不够充分,课堂应变能力还要提高点评(宋林荣:中学数学高级教师,区名教师)总体上说,余意上的这堂共轭复数的性质课条理清晰,板书规范,表达流畅,具有较好的教学基本功。这节课主要体现了两个“关注”和两个“突出”的特点。(1)关注三位目标。从制定的教学目标看,有知识与技能、过程与方法以及情感态度、价值观。制定目标恰当。在课堂教学过程中,力求体现制定的目标,因而有较好的达成度。(2)关注学习过程。比较强调学生的学习行为和习惯,鼓励学生,激发起学生的学习热情。课堂上,采用提问、练习和板书等形式,引导学生积极参与,努力让学生去尝试,及时发现学生学习中的错误,不断修正错误。(3)突出教学理念。从这节课的设计意图看,把学习五条共轭复数的性质,设计成对这五条性质的探究,让学生自主发现,然后及时引导学生去证明。不但使学生学到共轭复数的性质,更重要的是逐步学会探究的方法,形成探究的意识。(4)突出数学思想。数学思想的形成,不是几节课能够解决的,而是渗透在平时的教学之中。余意老师的这节课做的比较好。虽然没有大讲数学思想,但在课堂上渗透了数学思想。如归纳思想代换思想类比推广思想等。渗透数学思想比较自然,顺理成章。几点建议:(1)既然这节课让学生探究,在行进过程中,就得放开些。让学生更多的暴露些错误。学生的错误是“坏事”,但也是“好事”。学生的错误还不是真正的错误,学习是需要有一个过程,探究的过程需要有一定的时间保证的。(2)引导要注意得法。如说明AzZ为实数第三种方法:代换法,教师不应当自己1212说出,而是让学生发现更好。其实只要引导得法,学生能够解决的。(3)要重视数学的严谨性。如共轭复数的加、乘运算律,个数推广至有限对共轭复数时,学生不经意的用了不完全归纳法,老师应及时地指出,需用数学归纳法严格论证。只是这节课没有充裕的时间去证明。这样处理使得这节课更加严谨。
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