基本不等式(公开课课件)

这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标是根据中国古代数学家赵学家大会会标会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有思考：这会标中含有哪些几何图形？哪些几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：S S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba22ab重要不等式：重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法） 2)(ba结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能给出不等式的证明吗？你能给出不等式的证明吗？要证要证2abab只要证只要证ab显然是成立的，当且仅当显然是成立的，当且仅当_时，等号成立时，等号成立下面证明不等式：下面证明不等式：(0,0)2a babab证明：证明：2 ab要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)02 ababab(0,0)2a babab所以所以特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab基本不等式基本不等式：(0,0)2ababab注：当且仅当注：当且仅当a=b时取等号时取等号.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0变式：变式：22baab2abab 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2ababADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 例例1：(1)如图如图,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜的矩形菜园园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. 2xyxy2 10020,xy2()40 xy当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. xy此时此时x=y=10. x=yABDC1001010 xyxxyy解，可得若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，x+y有最小值有最小值_.2 P22xyxyP例例1：(2)如图，用一段长为如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m22xyxy得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m21892即即x=y=9xyABDC若若x、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，xy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x ，BC=242x ， x242xABDC变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m2(242 )yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最大值为取得最大值为72222422(6)72yxxx 则(012)x若若x0，求，求 的最小值的最小值。练习练习:解：解：因为因为x0，由基本不等式得，由基本不等式得当且仅当当且仅当 时，即时，即x=2时，时， 取得最小值取得最小值12。xx312 xxxf312)( )(xfxxxf312)( xx3122 12362 当且仅当当且仅当x=1-xx=1-x，即，即 时，时，f(xf(x) )取得取得最大值。最大值。若若0 x10 x1，求，求 的最大值。的最大值。练习练习因为因为0 x10 x01-x0，由基本不等，由基本不等 式，得式，得: : )1()(xxxf 21 x)1()(xxxf 22)1( xx41 解：解：=(x +1)+ - -11x+1 f(x)=x + 1x+1 =1, 2 (x+1) - -11x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号.当当 x=0 时时, 函数函数 f(x) 的最小值是的最小值是 1.x+1= , 即即 x=0 时时, 1x+1 解解: x-1, x+10.练求函数练求函数 f(x)=x + (x -1) 的最小值的最小值.1x+1 配凑系数配凑系数分析分析: x+(1- -2x) 不是不是 常数常数.2=1为为 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 14当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418练习练习 若若 0 x0, 0)2abababab，当且仅当时，等号成立。小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).142. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1. 两个重要的不等式两个重要的不等式作作 业业课本课本P100习题习题3.4 A组组 第第2、3题题 变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为则篱笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2 =24为为 222xyxy得得 2xy 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2241226xyxxyy解，可得变式变式：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx当且仅当当且仅当2x=242x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)abEDBOAC2.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解ab2ab1.1.思考思考: :如果用如果用 去替换去替换 中的中的 , , 能得到什么结论能得到什么结论? ? 必须要满足什么条件必须要满足什么条件? ?,ab222 ,ababa b,a b3.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数 构造条件构造条件三三、应用应用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx 变变1:若若 求求 的最小值的最小值120, 3xyxx变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.0,0 baabyab发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 发现运算结构，应用不等式发现运算结构，应用不等式