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2020届高考数学二轮复习专题五 平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。 向量的坐标表示 表示。 . 平面向量的数量积 数量积的几何意义： （2）数量积的运算法则 【典型例题】1.向量的概念、向量的运算、向量的基本定理例1. (2020湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)c ，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字例2、(2020广东文)已知平面向量，且，则=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由，得m4，所以，（2，4）（6，12）（4，8），故选（C）。点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆例3（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 BCDO中，()2，点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。例4已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得所以。2. 向量与三角函数的综合问题例5、（2020深圳福田等）已知向量 ,函数(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得， 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. 例6、（2020山东文）在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是锐角（2）由， ，又点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。3. 平面向量与函数问题的交汇例7已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0整理得：t33t4k0，即kt3t. 法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1. 故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.归纳 第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用变式 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围。点拨 将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数综合运用能力。OxACBa例7图yACBaQP解：仿例3（1）解法（二）可得k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .4. 平面向量在平面几何中的应用例8、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0. 点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。例9、已知A、B为抛物线(p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，（1） 若，求抛物线的方程。（2） CD是否恒存在一点K，使得 Y A F P B X O D K C 解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，则0故存在点K即点T，使得实质：以AB为直径的圆与准线相切变式（2020全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 【模拟演练】一、选择题1已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）A B C D42已知a,b是非零向量且满足（a2b）a，（b2a）b，则a与b的夹角是 （ ）A B C D3已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）A0， B， C， D，4设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则= （ ）A B C3 D35 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+()，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6已知平面上直线l的方向向量e=（,），点O（0，0）和A(1, 2)在上的射影分别是O/和A/，则，其中=（ ）A B C2 D27、（ ）A B. C. D. 18、已知，则向量与（ ）A.互相平行 B. 夹角为 C.夹角为 D.互相垂直9、已知向量的夹角是（ ）ABC D10、若向量，则等于（ ）A. B. C. D.11、已知非零向量若且又知则实数的值为 （ ） A. B. C. 3 D. 612. 把函数y的图象按a（1，2）平移到F，则F的函数解析式为Ay ByCy Dy二、填空题13已知向量a、b的夹角为，|a|2，|b|1，则|ab|ab|的值是 .14.已知M、N是ABC的边BC、CA上的点，且,设，则 . 15. ABC中，,其中A、B、C是ABC的三内角，则ABC是 三角形。16. 已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为 . 三、解答题17. 已知向量，.（1）若，试判断与能否平行（2）若，求函数的最小值.18. 设函数，其中向量，. （1）求函数的最大值和最小正周期； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.19. 如图，ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ2，问：当P、Q取什么位置时，有最大值? 20. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4，求直线l的斜率的取值范围21. 已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设. （1）求点的轨迹方程；（2）求向量和夹角的最大值，并求此时点的坐标22. 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 专题训练答案一、选择题1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7A 8A 9D 10B11D 12 A二、填空题13 14. ；15.直角16. 三、解答题17. 解：（1）若与平行，则有，因为，所以得，这与相矛盾，故与不能平行.（2）由于，又因为，所以， 于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于.18解：（1）由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx)sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（2）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ. 因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.19. 解：（）（）（）（）r2设BAC，PA的延长线与BC的延长线相交于D，PDB，则r2cbcosracosa、b、c、r均为定值，当cos1，即APBC时，有最大值.20. 略解 （1）y24x (x0) （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为ykxb(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程，得ky2 4y4b0,由，得.又 故 而 解得直线l的斜率的取值范围是21. 解析：（1）设，则，.（2）设向量与的夹角为，则，令，则，当且仅当时，即点坐标为时，等号成立. 22. 解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（2）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.
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