河北省正定中学2020届高考数学一轮复习 不等式的证明学案 理（无答案）

河北省正定中学2020届高考数学一轮复习 不等式的证明学案 理（无答案）一、考点梳理：1、求差法：ab ab0 2、求商法：ab03、分析法执果索因；模式：“欲证，只需证”；4、综合法由因导果；模式：根据不等式性质等，演绎推理5、放缩法证明不等式6、用单调性证明不等式.7、构造一元二次方程利用“”法证明不等式.8、数形结合法证明不等式.9、反证法、换元法等.二、考点自测：1、已知下列不等式: 其中正确的个数为A.0 B.1 C. 2 D. 32、10，那么A. B. C. D.3、ab0，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D. aabb4、已知实数给出下列等式：（1） （2）（3） （4）其中一定成立的式子有_3.4_5、若，则的最小值为6、已知x0，y0，x+ y =1,求证：（1+）(1+)9证明：x0，y0，（1+）(1+)=（1+）(1+)=(2+)(2+)=5+5+4=9,当且仅当=即x= y=时等号成立。三、命题热点突破：例1、已知：a、b是正实数，求证：例2、 例3、已知a1，n2，nN*.求证：1.证法一：要证1，即证a（+1）n.令a1=t0，则a=t+1.也就是证t+1（1+）n.（1+）n=1+C+C（）n1+t，即1成立.证法二：设a=xn，x1.于是只要证x1，即证n.联想到等比数列前n项和1+x+xn1=，倒序xn1+xn2+1=.+得2=（1+xn1）+（x+xn2）+（xn1+1）2+2+22n.n.思考讨论本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.例4.设二次函数，方程的两个根、满足。（1） 当时，证明：设函数的图象关于直线对称，证明：。四、知识方法总结： 作业（不等式的证明）1、不等式：（1）x332x；（2）a5b5-1,则若正整数m和n满足mn,则设P(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点，圆O2以Q（a,b）为圆心且半径为1，当（a-x1）2+(b-y1)2=1时，圆O1与O2相切其中假命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C.2 D.3 解析：ab-1 a+1b+10 当且仅当m=n-m即m=时取等号圆O1上的点到圆O2的圆心的距离为1，两圆不一定相切，选B5.若x,y是正数，则的最小值是（ ）A. 3 B. C.4 D. 解析：=当且仅当时等号成立，故选C6.( )A. 0, B.( ,1) C. -1, D. 8,+）解法1：特值法令a=b=c=得M=8 ，故选D二、填空：7已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0),为方程f(x)=x的两个根，且0,0x,给出下列不等式xf(x) f(x) f(x)其中成立的是A. B. C. D. 解析: 为方程f(x)=x的两个根，f(x)-x=a(x-)(x-)0, f(x) x 对f(x)- = a(x-)(x-)+x-=(x-)a(x-)+10 f(x)0求证：（1）方程f(x)=0有实根（2）-2-1（3）设x1, x2是f(x)=0的两个实根，则| x1-x2|0,故方程有实根。（2）f(0)f(1)=c(3a+2b+c)0 由a+b+c=0消去c,得(a+b)(a+2b)0 (3) x1+x2=,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(+)2+-2-1(x1-x2)2| x1-x2|0时，证明(3) 当1时，证明(1) 解：由已知x1=x2=1, 得 x3= 又x5=6, x1，x3, x5成等比数列， (x3)2= x1 x5 2=6 =(2)证明：由已知，0，x1=x2=1,y1=y2=2,可得xn0,yn0由不等式性质，有 (3)证明：当1时由（2）知ynxn1,又 设f(x)=3ax2+2bx+c，使a+b+c=0,f(0)0,f(1)0求证：(1)a0,且-20,f(1)0 c0,3a+2b+c0,又a+b+c=0, a+b0-a-b0 a0,且-2-1(2) f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为（）, -2-1两边乘以-得0,f(1)0，f(x)=0在（0，），（，1）内分别有一实根，故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且abc.求证：c0.证明：a2+b2+c2=1，（a+b）22ab+c2=1.2ab=（a+b）2+c21=（1c）2+c21=2c22c.ab=c2c.又a+b=1c，a、b是方程x2+（c1）x+c2c=0的两个根，且abc.令f（x）=x2+（c1）x+c2c，则11、已知正数、满足，求证：（1） （2）分析法