w矩阵论实用学习教案

会计学1w矩阵矩阵(j zhn)论实用论实用第一页，共23页。,; , VF ( (下下面面有有: ): )0, 0(3;)VV 在在中中存存在在零零元元素素对对任任何何都都有有(1) ; (2);, (4); 0VV对对任任何何都都有有的的负负元元素素使使第1页/共23页第二页，共23页。(5) 1; ;6) ( (8). (7); 第2页/共23页第三页，共23页。2. 向量向量(xingling)空间中的向量空间中的向量(xingling)不一定是有序数组不一定是有序数组3 . 判别线性空间的方法：一个判别线性空间的方法：一个(y )集合，对集合，对于定于定 定义的加法和数乘运算不封闭，定义的加法和数乘运算不封闭， 或者运算或者运算 不满足八条性质的任一条，不满足八条性质的任一条， 则此集合就不则此集合就不 能构成线性空间能构成线性空间 说明说明(shumng)：1凡满足以上八条法则的加法及乘数运算，凡满足以上八条法则的加法及乘数运算， 称为称为线性运算线性运算第3页/共23页第四页，共23页。例例2 2 数域数域 F 上的全体上的全体 矩阵，对矩阵矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记为记为 nm m nF 11 , , |,.nTnnFFxxxxFF为为数数域域 则则对对向向量量的的加加法法和和数数乘乘构构成成 上上的的一一个个线线性性空空间间例例1 1 CR.复复数数域域为为实实数数域域上上的的线线性性空空间间例例3 3第4页/共23页第五页，共23页。0101 |,4R .nnnnnxaP xaaa xa 次次数数不不超超过过 的的全全体体实实系系数数多多项项式式对对于于通通常常多多项项式式的的加加法法和和数数乘乘构构成成线线性性空空间间例例例例5 5 在区间在区间 上全体实连续函数上全体实连续函数 对函数的加法与数和函数的对函数的加法与数和函数的数量乘法数量乘法，构，构成实数域上的线性空间成实数域上的线性空间 , a b, , C a b第5页/共23页第六页，共23页。 nQ x对对数数乘乘运运算算不不封封闭闭: :010 |,R, 0.nnnnnnP xxaaaaa xa 次次多多项项式式的的全全体体对对于于通通常常多多项项式式的的加加法法和和乘乘数数不不构构成成向向量量空空间间例例6 6010()0 nnnxQxaaa x nQ x对对加加法法运运算算也也不不封封闭闭: :?第6页/共23页第七页，共23页。例例7 7 在正实数的全体在正实数的全体 上定义加法及乘数运上定义加法及乘数运算为算为R ,(R, ,R ).ababaaa b 验证验证 对上述加法与乘数构成线性空间对上述加法与乘数构成线性空间R 证证,RR ;a bababR,RR .aaa 所以对定义所以对定义(dngy)的加法与乘数运算封的加法与乘数运算封闭闭第7页/共23页第八页，共23页。下面一一验证八条线性运算下面一一验证八条线性运算(yn sun)法则：法则：(1);ababbaba()()()()2);(abcabcab cabcR1,(3)Ra 中中存存在在零零元元素素对对任任何何, ,有有;11aaa 1R ,4R( )aa 有有负负元元素素使使111;aaa a第8页/共23页第九页，共23页。11;(5)aaa ;(6)aaaaa ( ;7)aaa aaaaa ()(8)( )abababa b 所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间R . baba 第9页/共23页第十页，共23页。1 1零元素零元素(yun s)(yun s)是唯一的是唯一的2 2负元素负元素(yun s)(yun s)是是唯一的唯一的 3. 00;1;00. 4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 二、线性空间二、线性空间(kngjin)的性的性质质第10页/共23页第十一页，共23页。1 1零元素零元素(yun s)(yun s)是唯一的是唯一的证证假设假设 都是线性空间都是线性空间 V 中的零元素中的零元素.120 ,0120 ,0,V 由由于于所以所以(suy)212121000 , 000 ,V 对对任任何何有有112212000000 .120,0. 第11页/共23页第十二页，共23页。2 2负元素负元素(yun s)(yun s)是是唯一的唯一的证证. 0, 0 从而从而(cng r)0 0. , 假假设设 , ,都都是是的的负负元元 则则.向向量量的的负负元元- -记记为为第12页/共23页第十三页，共23页。 3. 00;1;00. 证证 01010100; 1111100 1; 10 0 . 0 第13页/共23页第十四页，共23页。4如果如果 ，则则 或或 . 0 0 0 证证0, 假假设设那么那么(n me) 1100; 11, 又又 0. 所所以以第14页/共23页第十五页，共23页。三、线性子空间三、线性子空间(kngjin)(kngjin) WFVWVFWV设设为为数数域域上上线线性性空空间间的的一一个个非非空空子子集集. .若若对对的的加加法法和和数数乘乘也也是是上上的的线线性性空空间间, ,则则称称为为的的一一义义2 2个个. .间间定定子子空空 ,;,.WFVWVWVWWWkFkW 设设为为数数域域上上线线性性空空间间的的一一个个非非空空子子集集, ,则则为为的的子子空空间间对对的的加加法法和和数数乘乘运运算算封封闭闭: : ( (1 1) ) ( (2 2) ) 理理定定第15页/共23页第十六页，共23页。 : VV两两个个平平凡凡的的任任何何线线性性空空间间都都有有本本身身和和零零子子空空子子空空间间. . 间间00例例8 8 :(1) 0( ; )0 m nnAAXNXAFAFA 对对于于齐齐次次方方程程的的一一切切解解构构成成的的一一个个 子子空空间间, , 称称其其为为 矩矩阵阵, ,记记为为( (方方程程的的解解) )核核 空空间间的的例例9 9( (2) ) |nmmRAAx xFFFA 为为的的子子空空间间, , 的的值值 称称其其为为矩矩阵阵域域. . 第16页/共23页第十七页，共23页。解解(1) 不构成不构成(guchng)子空间子空间.因为因为(yn wi)对对1000001WBA 2 3 R? 的的下下列列子子集集是是否否构构成成子子空空间间为为什什么么例例1010 110(1),R ;0bWb c dcd 20(2)0, ,R.00abWabca b cc有有,0000021WBA 第17页/共23页第十八页，共23页。即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.1W 2000(2),000W 因因.2非空非空即即W对任意对任意(rny)112221200,0000ababABWcc有有, 0111 cba, 0222 cba于是于是(ysh), 212121000ccbbaaBA第18页/共23页第十九页，共23页。且且 , 0212121 ccbbaa2 .ABW即即Rk 对对任任意意有有1110,00kakbkAkc 且且, 0111 kckbka.2kAW 即即2 32, R.W 总总之之是是的的子子空空间间第19页/共23页第二十页，共23页。三、生成三、生成(shn (shn chn)chn)子空间子空间111111 , , ,.span,mmmmmmxxVk xk xkkFVxxxx 若若为为线线性性空空间间中中的的向向量量, ,则则它它们们的的一一切切线线性性组组合合| |为为的的一一个个子子空空间间, ,称称义义3 3生生成成的的子子空空间间定定1321233 R |011 span1 ,0.01xxxxxx 例例1111第20页/共23页第二十一页，共23页。R, R? ?nAXB 实实数数域域上上的的 元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的所所有有解解向向量量对对于于通通常常向向量量加加法法和和数数量量乘乘法法 是是否否构构成成上上的的一一个个线线性性空空间间为为什什么么第21页/共23页第二十二页，共23页。R .答答不不能能构构成成上上的的一一个个线线性性空空间间0: ()2AXBBA XYBBAYB 第22页/共23页第二十三页，共23页。