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玉溪一中2020届高二年级下学期期中考试文科数学第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、已知集合，则（ ）A B C D2、已知为复数单位，且复数，则的虚部为（ ）A B C D3、已知 ，椭圆的方程为，双曲线的方程为， 与 的离心率之积为， 则 、 的离心率分别为( )A. ， B. ， C. ， D. ，4、向量，则“”是“”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5、在等差数列中，是方程的根，则的值是 （ ）A. 41 B 51 C. 61 D68 6、已知实数 ，则的大小关系是（ ）A B. C D. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D8、函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到，则（ ）A B C. D9、若双曲线的渐近线与圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D10、已知直线，及平面，.命题：若，则 ，一定不平行；命题是，没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）A B C. D11、已知函数，则（ ）A B C. D12、已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，其中点是椭圆的上顶点，椭圆的左顶点为，直线分别与直线相交于两点则（ ）A B C D 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）.13、若满足约束条件，则的最大值为 14、中国古代数学著作张丘建算经（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾. 初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何. 其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的. 已知第一天织尺，经过一个月天后，共织布九匹三丈.则每天多织布 尺？(注：匹丈，丈尺).15、曲线在点处的切线方程是 16、已知函数，存在，使得，则的取值范围是 三、解答题（本大题共8个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、(本小题满分12分)在中，为边上一点，. （1）若，求外接圆半径的值；（2）设，若，求的面积. 18、(本小题满分12分)某校2020届高二文（15）班在一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在的学生数有人. （1）求总人数和分数在的人数；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现从分数在名学生（男女生比例为）中任选人，求其中至多含有名男生的概率. 19、(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积 20、(本小题满分12分)已知椭圆H：a2(x2)y21(a1)，原点O到直线MN的距离为2(3)，其中点M(0，1)，点N(a，0).(1)求椭圆H的离心率e；(2)经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，若(OC)2(1)(OA)2(3)(OB)，求直线l的方程. 21、(本小题满分12分)已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若对任意，都有成立，求的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 23、选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设函数（1）若最小值为，求的值；（2）求不等式的解集.玉溪一中2020届高二年级下学期期中考试（文科数学）答案题号123456789101112答案ADBABCABBDDA13、8 14、 15、 16、三、解答题（本大题共8个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 【解】（1）由余弦定理，得，解得.由正弦定理得，.（2）设，则， ，.，.，即，解得.，. 18、【解】（1）分数在内的学生的频率为，所以该班总人数为.分数在内的学生的频率为：，分数在内的人数为.（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为.设中位数为，.众数和中位数分别是，.（3）由题意分数在内有学生名，其中男生有名.设女生为，男生为，从名学生中选出名的基本事件为：共种，其中至多有名男生的基本事件共种，所求的概率为. 19、【解】 （）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）PD平面EAC，平面EAC平面PBD=OE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BHAD，又BHPD，ADPD=D，BD平面PAD，=20、【解】(1)由题意得直线MN的方程为xaya0，则1a2(a)2(3)a，所以c，所以离心率e3(2)3(6).(2)椭圆H的方程为3(x2)y21，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，其方程为y0，此时A(，0)，B(，0)，不符合题意，舍去.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xmy，由y21，(x2)消去x得(m23)y22my10，所以0，.(1)因为(OC)2(1)(OA)2(3)(OB)，所以x32(1)x12(3)x2，y32(1)y12(3)y2.因为点C在椭圆上，所以3y3(2)3(1)32324(1)1(2)4(3)2(2)2(3)x1x2y1y2(1)4(1)4(3)2(3)x1x2y1y2(1)1，所以x1x23y1y20.又因为x1x2(my1)(my2)m2y1y2m(y1y2)2m2m23(1)mm23(2m)2m23(3m26)，所以x1x23y1y2m23(3m26)3m23(1)0，化简得m210.所以m1.所以直线l的方程 xy.综上，直线l的方程为xy0或xy0.21、【解】(1) 由题意可知函数的定义域为.当时，.当或时，单调递增.当时，单调递减.综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，整理得，.令，则.令，.在上递增，存在唯一的零点.，得.当时，在上递减；当时，在上递增.，要使对任意恒成立，只需.又，且，的最大值为.22、【答案】（）,（） 23、【解】（）由题知则，解得（）设若，有，解得，若，有，解得，综上，不等式的解集为
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