2020高中数学单元训练40 不等式的应用

课时训练40 不等式的应用【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.若a+2b=1,下列结论中错误的是（ ）A.ab的最大值是 B.ab的最小值是8C.a2+ab+b2的最大值是 D.的最大值是4答案：A解析：ab=(1-2b)b=-2(b-)2+.2.(2020广东珠海一模，4)已知0ab，且a+b=1.下列不等式中，正确的是（ ）A.log2a0 B.2a-bC.log2a+log2b-2 D.4答案：C解析：由0ab且a+b=1知ab()2=,故log2a+log2b=log2ablog2=-2.3.若关于x的方程9x+(2+a)3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（ ）A.（-,-80,+) B.(-,-4C.-8,4) D.(-,-8答案：D解析：因4+a=-(3x+),又3x+4.故4+a-4,即a-8.4.对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（，+）C.(0,) D.(-,)答案：B解析：由x2+3x-2ax+a20,由0可知选B.5.若a0,b0,则“a2+b21”是“ab+1a+b”成立的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：由集合的观点知a2+b21表示圆内部所有点，而aba+b-1(a-1)(b-1)0显然前者包括在后者点集中，故选A.6.(2020湖北十一校大联考，9)f(x)=的定义域为（-,2则实数a的取值范围是( )A.-，+) B.-C.(-,+) D.(-,-答案：B解析：由3+a4x0，a4x-3，当a0时定义域为R不合条件，a0，xlog4(-).log4(-)=2.a=-.7.(2020湖北十一校大联考，12)实系数方程x2+ax+2b=0的两根为x1、x2，且0x11x22,则的取值范围是( )A.（，1） B.（，1）C.（-，） D.（-，）答案：A解析：设f(x)=x2+ax+2b，方程x2+ax+2b=0两根满足0x11x22的充要条件是:记A(-3,1),B(-2,0),C（-1，0）,则动点(a,b)表示ABC内部的点集；而表示点（a,b）与D（1，2）连线的斜率kAD=,kCD=1，1.二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知直角三角形两条直角边的和等于14 cm，则此直角三角形的最大面积是_.答案：24.5 cm2解析：因a+b=,故S=ab ()2= cm2，当且仅当a=b=7时等号成立.9.光线透过一块玻璃，其强度要减弱110，要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少有这样的玻璃板_块.（参考数据：lg2=0.301 0,lg3=0.477 1）答案：11解析：()nn-2nlg3lg3n.1011.取n=11.10.设函数f(x)=的图象，如右图.则a,b,c的大小关系是_.答案：acb解析：依题意f(0)=0,得b=0,f(x)=.xRc0.又f(1)=0a1+cc0,acb.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.某村计划建造一个室内面积为800 cm2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右内两侧内墙与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长为各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解析：设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则ab=800.蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).所以S808-4=648 m2.当a=2b，即a=40 m，b=20 m，S最大值=648 m2.答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.12.设f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(tR,为参数)如果当x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求参数t的取值范围.解析：x0,1时，f(x)g(x)恒成立.x0,1时，恒成立；x0,1时，恒成立，即x0,1时，t-2x+恒成立.于是转化求-2x+在x0,1的最大值问题.令M=,则x=M2-1,由x0,1,知M1, ,-2x+=-2(M2-1)+M=-2(M-)2+.当M=1,即x=0时，-2x+有最大值为1.t的取值范围是t|t1.13.(2020湖北十一校大联考，20)刘先生购买了一部手机，欲使用中国移动的“智慧”卡或加入中国联通网，经调查收费标准如下：网络月租本地话费长途话费甲：联通12元0.3元/分钟0.6元/分钟乙：移动无0.5元/分钟0.8元/分钟刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）.（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用甲、乙两种入网方式所需话费的函数f(x),g(x);(2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择一种较为省钱的入网方式.解析：（1）因刘先生本地电话时间为长途电话的5倍，所以本地通话时间与长途通话时间分别为x,.f(x)=0.3+0.6+12，f(x)=0.35x+12.g(x)=0.5x+0.8,g(x)=0.55x.(2)g(x)-f(x)=0.2x-12=0.2(x-60).当x60时，g(x)f(x)，刘先生采用联通网络较省钱;当0x60时，g(x)f(x)，刘先生采用移动网络较省钱;当x=60时,g(x)=f(x)，刘先生任选其中一种均可.14.已知abc,且f(x)=(a-b)x2+(c-a)x+(b-c).(1)求证：方程f(x)=0总有两个正根；（2）求不等式f(x)0的解集；（3）求使f(x)(a-b)(x-1)对于3b2a+c恒成立的x的取值范围.(1)证明：方程f(x)=0,即(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0,即(a-b)x-(b-c)(x-1)=0.所以方程f(x)=0的两根为x1=,x2=1.因为abc，所以0.故方程f(x)=0总有两个正根.解析：（2）f(x)0,即（a-b）x-(b-c)(x-1)0.当1,即b时，不等式的解集为x|1x;当1,即b时，不等式的解集为x|x1;当=1,即b=时，不等式的解集为x|x=1.(3)f(x)(a-b)(x-1),即(a-b)x2+(b+c-2a)x+a-c0,即(a-b)x-(a-c)(x-1)0.因为abc，所以1.所以x,或x1恒成立.又3b2a+c,即2(a-b)b-c,2,所以=1+3.所以x3,或x1.故使f(x)(a-b)(x-1)对于3b2a+c恒成立的x的取值范围是（-,1）(3,+).