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(三)1飞船返回仓顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东300,相距4km,P为航天员着陆点,某一时刻A接到P的求救信号,由于B、C两地比A距P远,因此4s后,B、C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.(1)求A、C两个救援中心的距离;(2)求在A处发现P的方向角;CBA(3)若信号从P点的正上方Q点处发出,则A、B收到信号的时间差变大还是变小,并证明你的结论.2已知函数, 的最小值恰好是方程的三个根,其中()求证:;()设,是函数的两个极值点若,求函数的解析式;求的取值范围3如图,已知直线l与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0). (I)若动点M满足,求点M的轨迹C; (II)若过点B的直线l(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求OBE与OBF面积之比的取值范围.4设(e为自然对数的底数) (I)求p与q的关系; (II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范围; (III)证明: ;(nN,n2).5已知数列的前n项和满足:(a为常数,且)()求的通项公式;()设,若数列为等比数列,求a的值;()在满足条件()的情形下,设,数列的前n项和为Tn,求证:6、对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点如果函数有且仅有两个不动点、,且()试求函数的单调区间;()已知各项不为零的数列满足,求证:;()设,为数列的前项和,求证:7、已知函数f(x)的定义域为x| x k,k Z,且对于定义域内的任何x、y,有f(x - y) = 成立,且f(a) = 1(a为正常数),当0 x 0(I)判断f(x)奇偶性;(II)证明f(x)为周期函数;(III)求f (x)在2a,3a 上的最小值和最大值8、已知点R(3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上 ,且满足,.()当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;()设为轨迹C上两点,且,N(1,0),求实数,使,且9、已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关于轴的对称点为.()求椭圆W的方程;()求证: ();()求面积的最大值.10、已知抛物线,点P(1,1)在抛物线C上,过点P作斜率为k1、k2的两条直线,分别交抛物线C于异于点P的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且满足k1+k2=0. (I)求抛物线C的焦点坐标; (II)若点M满足,求点M的轨迹方程.参考答案1、 解:(1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则则 即A、C两个救援中心的距离为 (2),所以P在BC线段的垂直平分线上又,所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,且双曲线方程为BC的垂直平分线的方程为联立两方程解得:PAB120所以P点在A点的北偏西30处 (3)如图,设又即A、B收到信号的时间差变小2、解:()三个函数的最小值依次为, 3分由,得 ,故方程的两根是,故,4分,即 5分()依题意是方程的根,故有,且,得由7分 ;得,由()知,故, , 9分(或) 11分由() , ,又, ,(或) 13分 15分3(本小题满分12分)解:(I)由,直线l的斜率为,1分故l的方程为,点A坐标为(1,0) 2分设 则,由得 整理,得4分动点M的轨迹C为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为,短轴长为2的椭圆 5分 (II)如图,由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=k(x2)(k0)将代入,整理,得,由0得0k20时,h(x)=px22x+p图象为开口向上抛物线,称轴为x=(0,+).h(x)min=p.只需p0,即p1时h(x)0,g(x) 0,g(x)在(0,+ )单调递增,p1适合题意.7分当p0时,h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=(0,+),只需h(0)0,即p0时h(0)(0,+ )恒成立.g(x)0 ,g(x)在(0,+ )单调递减,p0),设.当x(0,1)时,k(x)0,k(x)为单调递增函数;当x(1,)时,k(x)0,结论成立.14分5解:()当时,即是等比数列 ; 4分()由()知,若为等比数列, 则有而故,解得,再将代入得成立, 所以(III)证明:由()知,所以,由得所以,从而即14分6、解:()设 由 又 3分 于是 由得或; 由得或 故函数的单调递增区间为和,单调减区间为和 4分()由已知可得, 当时, 两式相减得或当时,若,则这与矛盾 6分于是,待证不等式即为为此,我们考虑证明不等式令则,再令, 由知当时,单调递增 于是即 令, 由知当时,单调递增 于是即 由、可知 10分所以,即 11分()由()可知 则 在中令,并将各式相加得 即7、解:(1)定义域x| x k,kZ 关于原点对称,又f(- x) = f (a - x) - a= = = = = = - f (x),对于定义域内的每个x值都成立 f(x)为奇函数-(4分)(2)易证:f(x + 4a) = f(x),周期为4a-(8分)(3)f(2a)= f(a + a)= f a -(- a)= = = 0,f(3a)= f(2a + a)= f 2a -(- a)= = = - 1先证明f(x)在2a,3a上单调递减为此,必须证明x(2a,3a)时,f(x) 0,设2a x 3a,则0 x - 2a 0, f(x) 0-(10分)设2a x1 x2 3a,则0 x2 - x1 a, f(x1) 0 f(x2) 0, f(x1)- f(x2)= 0, f(x1) f(x2), f(x)在2a,3a上单调递减-(12分) f(x)在2a,3a上的最大值为f(2a = 0,最小值为f(3a)= - 18、解:()设点M(x,y),由得P(0,),Q().由得(3,)(,)0,即又点Q在x轴的正半轴上,故点M的轨迹C的方程是.6分()解法一:由题意可知N为抛物线C:y24x的焦点,且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。当直线AB斜率不存在时,得A(1,2),B(1,-2),|AB|,不合题意;7分当直线AB斜率存在且不为0时,设,代入得则|AB|,解得 10分 代入原方程得,由于,所以, 由,得 . 13分解法二:由题设条件得 由(6)、(7)解得或,又,故.9、解:()设椭圆W的方程为,由题意可知解得,所以椭圆W的方程为4分()解法1:因为左准线方程为,所以点坐标为.于是可设直线 的方程为得.由直线与椭圆W交于、两点,可知,解得设点,的坐标分别为,,则,因为,所以,.又因为,所以 10分解法2:因为左准线方程为,所以点坐标为.于是可设直线的方程为,点,的坐标分别为,,则点的坐标为,由椭圆的第二定义可得,所以,三点共线,即10分()由题意知 ,当且仅当时“=”成立,所以面积的最大值为10、解:(I)将P(1,1)代入抛物线C的方程得a=1,抛物线C的方程为,即焦点坐标为F(0,).4分 (II)设直线PA的方程为,联立方程消去y得则由7分同理直线PB的方程为联立方程消去y得则又9分设点M的坐标为(x,y),由又11分所求M的轨迹方程为:高考资源网
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